C Lculo De Intervalos De Confianza

Cálculo de intervalos de confianza.
En el contexto de estimar un parámetro poblacional, un intervalo de confianza es un rango de valores (calculado en una muestra) en el cual se encuentra el verdadero valor del parámetro, con una probabilidad determinada.
La probabilidad de que el verdadero valor del parámetro se encuentre en el intervalo construido se denomina nivel de confianza, y se denota1-. La probabilidad de equivocarnos se llama nivel de significancia y se simboliza . Generalmente se construyen intervalos con confianza 1-=95% (o significancia =5%). Menos frecuentes son los intervalos con =10% o =1%.
Para construir un intervalo de confianza, se puede comprobar que la distribución Normal Estándar cumple 1:
P(-1.96 < z < 1.96) = 0.95
(lo anterior se puede comprobar con una tabla deprobabilidades o un programa computacional que calcule probabilidades normales).
Luego, si una variable X tiene distribución N(,), entonces el 95% de las veces se cumple:


Despejando  en la ecuación se tiene:

El resultado es un intervalo que incluye al  el 95% de las veces. Es decir, es un intervalo de confianza al 95% para la media  cuando la variable X es normal y  es conocido.

El cálculo deintervalos de confianza no es un proceso fácil cuando la variable en estudio no sigue unas pautas de normalidad, por lo que nosotros vamos a suponer siempre que la variable con la que vamos a trabajar sigue una distribución normal. Dicho esto, el proceso para obtener el intervalo es dar una variable aleatoria donde intervenga el parámetro a estimar y el correspondiente de la muestra. A estavariable se le llama estadístico pivote y debe seguir una distribución de probabilidad conocida. Por ejemplo para el cálculo de un intervalo de confianza de la media se utiliza el siguiente estadístico pivote: n S X n−1 − µ Pues bien, esa expresión donde interviene la media muestral, la media poblacional, la cuasi desviación típica y el tamaño muestral, sigue una distribución de probabilidad conocidaque se encuentra tabulada, llamada t-Student con n-1 grados de libertad. Se trata pues de dar un intervalo (a, b) de modo que P(a < g < b) = 1−α , siendo g el estadístico pivote correspondiente. Una vez establecida esa desigualdad, despejamos el parámetro poblacional que es el que queremos centrar en el intervalo.
Ejemplos de Intervalos de Confianza
1). Se quiere obtener un intervalo de confianzapara el valor de las ventas medias por hora que se producen en un kiosco . Para ello realizamos una muestra consistente en elegir al azar las ventas que se realizaron durante 1000 horas distintas; muestra cuyos resultados fueron : ventas medias por hora 4000 pts, y varianza de dicha muestra 4000 pts al cuadrado . Obtener dicho intervalo con un nivel de confianza del 95.5 %

 Queremos construir unintervalo para la media con las siguientes características :
            tamaño muestral   = n =1000 , muestreo aleatorio simple
            la población no es normal ni conocemos su varianza ,
           el resultado de la muestra es :
si bien se trata de un intervalo para la media con varianza desconocida y población no normal , dado que el tamaño muestral es grande podemos suponer normalidad ytomar como varianza poblacional a la muestral así :

                                        
 dado que para nivel de confianza del 95,5% las valores de  
son según tablas 2,-2          tendremos el intervalo :

                            
luego el intevalo será  

2). Se desea determinar un intervalo de confianza con nivel de confianza del 99% para la proporción de amas de casa que compran sólouna vez a la semana. Si se sabe que en una muestra aleatoria simple de 400 amas de casa sólo 180 de afirmaron comprar una vez a la semana
  Se trata de un intervalo para la proporción de una característica 
                P = proporción de amas de casa que compran una sola vez en la semana.
        Conocemos que : el nivel de confianza es 0,99 , el tamaño muestral n=400 , y , 
         la...