C Lculo De Una Variable

CÁLCULO DE UNA VARIABLE REAL

Funciones

Definición (Gráficas)

Definición (Función)

En el sistema de coordenadas cartesianas o rectangulares la gráfica de una
función 𝑓 es la gráfica del conjunto de pares ordenados (𝑥, 𝑓(𝑥)), donde 𝑥
está en el dominio de 𝑓.

Una función de un conjunto 𝑋 en un conjunto 𝑌 es una regla de
correspondencia que asigna a cada elemento 𝑥 en 𝑋 exactamente un elemento
𝑦en 𝑌.
Podemos representar a una función 𝑓 de un conjunto 𝑋 en un conjunto 𝑌 por
medio de la notación 𝑓: 𝑋 → 𝑌. El conjunto 𝑋 se llama dominio de 𝑓 y es el
mayor subconjunto del conjunto de números reales para los que 𝑓(𝑥) es un
número real. El conjunto de elementos correspondientes 𝑦 en el conjunto 𝑌 se
denomina rango de la función. El único elemento 𝑦 en el rango que
corresponde a un elemento 𝑥selecto en el dominio 𝑋 se denomina valor de la
función en 𝑥, o imagen de 𝑥 y se escribe 𝑓(𝑥). Esta expresión se lee “𝑓 de 𝑥”,
y se escribe 𝑦 = 𝑓(𝑥). La variable 𝑦 se le denomina variable dependiente y
a la variable 𝑥 variable independiente.

No olvide que



un valor de 𝑥 es una distancia dirigida desde el eje 𝑦,
un valor funcional 𝑓(𝑥) es una distancia dirigida desde el eje 𝑥.

Prueba de larecta vertical
Se sabe que para toda 𝑥 en el dominio de 𝑓 corresponde un solo valor 𝑓(𝑥) en
el rango. Esto significa que una recta vertical que corta a la gráfica de la
función 𝑦 = 𝑓(𝑥) puede cortar a la gráfica de una función cunado mucho en
un punto.

Formas de representar una función





analítica, es decir, por medio de una fórmula como 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 ;
verbal, es decir, mediante unadescripción con palabras;
numérica; es decir, mediante una tabla de valores numéricos; y
visual; es decir, con una gráfica.

Ejemplo 1 Dominio de las funciones
1. Función elevar al cubo
2. 𝑓(𝑥) = √6𝑥 − 3
𝑥+1
3. 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 −4𝑥−12
4. 𝑓(𝑥) = √𝑥 2 − 3𝑥 − 10
2𝑥−1
5. 𝑓(𝑥) = 2

Intersecciones
Todos los puntos sobre el eje 𝑦 son de la forma (0, 𝑦). Si 0 pertenece al
dominio de la función, entonces, el punto deintersección de la gráfica de la
función con el eje 𝑦 será (0, 𝑓(0)). De manera semejante, todos los puntos
sobre el eje 𝑥 son de la forma (𝑥, 0). Para encontrar todos los puntos de la
gráfica de la función donde esta se hace cero, debemos resolver 𝑓(𝑥) = 0 para
𝑥.



Un número 𝑐 para el que 𝑓(𝑐) = 0 se denomina cero de la función f o
raíz (o solución) de la ecuación 𝑓(𝑥) = 0.
Una gráfica nonecesariamente tiene que cruzar un eje de coordenadas
en una intersección; una gráfica puede simplemente tocar, o ser
tangente, a un eje.

√𝑥 −1

Marco Antonio Reyes Guzmán
1

CÁLCULO DE UNA VARIABLE REAL
y

Ejemplo 2 Intersecciones con los ejes coordenados
1. 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 6𝑥 + 5

1

3𝑥−2

2. 𝑓(𝑥) = 2𝑥−1

3. 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 𝑥 + 1

0.5

x

0.5
1

Definición (Funciones definidas por partes)

4. Función enteromayor

Una función puede implicar dos o más expresiones o fórmulas, cada una
definida en partes distintas sobre el dominio de 𝑓. Una función definida de esta
manera se denomina función definida por partes.

2
1

Ejemplo 3 Funciones seccionadas
2

1

1. Semicírculos

1

2

3

1
2

Función potencia
Una función de la forma 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑛 se denomina función potencia. Donde 𝑛
es un número racional.

2.Función valor absoluto
y

Ejemplo 4 Función potencia

x

1.
2.
3.
4.

𝑛 = 1,
𝑛 = 2,
𝑛 = 3,
𝑛 = 4,

𝑓(𝑥) = 𝑥
𝑓(𝑥) = 𝑥 2
𝑓(𝑥) = 𝑥 3
𝑓(𝑥) = 𝑥 4
1

5. 𝑛 = −1, 𝑓(𝑥) = 𝑥 −1 = 𝑥
−1, 𝑥 < 0
0, 𝑥 = 0
3. 𝑓(𝑥) = {
𝑥 + 1, 𝑥 > 0

1

6. 𝑛 = −2, 𝑓(𝑥) = 𝑥 −2 = 𝑥 2
1

1

7. 𝑛 = 2 , 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 = √𝑥
Marco Antonio Reyes Guzmán
2

CÁLCULO DE UNA VARIABLE REAL
1

1

2

2

3

Dominio de una combinación aritmética

3

Alcombinar dos funciones aritméticamente es necesario que ambas funciones
estén definidas en el mismo número 𝑥. Por tanto, el dominio de las funciones
𝑓 + 𝑔, 𝑓 − 𝑔 y 𝑓𝑔 es el conjunto de números reales que son comunes a ambos
dominios; es decir, el dominio es la intersección del dominio de 𝑓 con el
dominio de 𝑔. En el caso del cociente 𝑓/𝑔, el dominio también es la
intersección de los dos...