L¨Sungsvorschlag - Blatt 3

Prof. Dr. Karsten Urban
Dipl.-Math. Katharina Becker-Steinberger,
Dipl.-Math. oec. Sebastian Kestler
Institut f¨r Numerische Mathematik
u
Wintersemester 2012/13

Numerik 1
L¨sungsvorschlag - Blatt 3
o
A
Aufgabe 9 (Berechnung der LR-Zerlegung, L TEX-Aufgabe)
Berechnen Sie die LR-Zerlegung der Matrix


6 −4
7
A =  −12
5 −12  .
18
0
22

(4 Punkte)

L¨sen Sie damit durchVorw¨rts- und R¨ckw¨rtseinsetzen das Gleichungssystem Ax = b f¨r b =
o
a
u
a
u
41
u
( 12 , − 22 , 29 )⊤ . Verwenden Sie bei der Rechnung ausschließlich Br¨che und keine Dezimalzahlen und
32
geben Sie Zwischenschritte an.
L¨sung
o







6 −4
7
6 −4 7
100
6 −4 7
1
00
A =  −12
5 −12  =  −2 1 0  ·  0 −3 2  =  −2
1 0   0 −3 2 
18
0
22
0
09
301
012 1
3 −4 1
=L

=R

Nun l¨sen wir zuerst Ly = b durch Vorw¨rtseinsetzen. Damit erhalten wir
o
a
22
22 41
1
29
29 41
9
41
, y2 = − + 2y1 = − +
= − , y3 =
− 3y1 + 4y2 =
−
−2= .
12
3
3
6
2
2
2
4
4
Anschließend setzen wir r¨ckw¨rts ein, um Rx = y zu l¨sen:
u
a
o
y1 =

x3 =

1
19
·=,
94
4

x2 = −

1
3

1
− − 2x3
2

1
=,
3

x1 =

1
6

41
+4x1 − 7x2
12

= ... =

1
.
2

Aufgabe 10 (Berechnung der LR-Zerlegung mit Spaltenpivotisierung)
(8 Punkte)
Bestimmen Sie mittels Spaltenpivotisierung (siehe Algorithmus 3.4.1) die LR-Zerlegung der Matrix


2
1
0
2
1
1
1
1
4 −4 
A=
 −4 −2 −1
1
3
3
2
0 −2
2
und geben Sie die Matrizen L, R und P mit P A = LR an (Hinweis: Beispiele 3.4.9 und 3.4.11 im
Skript).Verwenden Sie bei der Rechnung ausschließlich Br¨che und keine Dezimalzahlen. Geben Sie
u
Zwischenschritte an.
L¨sung
o
Zerlegung mit Spaltenpivotsuche:
• Wir vertauschen zuerst die Zeilen 1 und 3 und wenden dann die Gauß-Elimination auf die
˜
Spalte an, was die Matrix A(1) ergibt:





−4 −2 −1
1
−4 −2 −1
1000
0010
1
1
1
1
 −1 1 0 0   0
0 1 0 0
1
0
4 −4  =
4
2



˜
A(1) = 
1
  −1 0 1 0  ·  0
 1 0 0 0  ·A =  2
1
0
2
0 −2
2
3
1
3
0 −1 −2
0001
−2 0 0 1
2
0 −2
2
=P13

=L−1
1

=L1 P13 A

erste

1
0

5
2
2

• Als n¨chstes vertauschen wir Zeilen 2 und 4 und wenden dann die Gauß-Elimination
a
˜
zweite Spalte an, was die Matrix A(2) ergibt:



−4 −2 −1
1
000
−4 −2 −1 1
 0 −1 −2 2  0
1 0 0   0 −1 −2
=
·
˜
A(2) = P24 L1 P13 A = 
1
1
0
0 −2
0 −2 5   0
0 1 0  0
2
1
1
0
0
0 −1
00
0 −2 0 1
2
=L−1
2

• Zuletzt vertauschen wir Zeilen 3 und 4
˜
Spalte an, was die Matrix A(3) ergibt:

−4 −2
 0 −1
˜
A(3) = P34 L2 P24 L1 P13 A = 
0
0
0
0


1
2

5
2
1

=L2 P24 L1 P13 A

und wenden dann die Gauß-Elimination auf die dritte−1
−2
−1
1
−2


1
1
2 0
=
1 0
5
0
2

0
1
0
0


−4 −2 −1
00
0 0   0 −1 −2
·
0 −1
1 0  0
1
1
0
0
0
2

=L−1
3


1
2

1
2

=L3 P34 L2 P24 L1 P13 A

Die Matrix R und die Permutationsmatrix sind leicht ablesbar bzw. berechenbar (vgl.



−4 −2 −1 1
00
 0 −1 −2 2 
0 0
 , P = P34 P24 P13 = 
R = L3 P34 L2 P24 L1 P13 A = 0
0 1
0 −1 1 
0
0
02
10
Zur Berechnung von L m¨ssen wir
u

10
0 1
˜
L− 1 = L− 1 = 
3
3
0 0
00

auf die

Bsp. 3.4.9):

10
0 1

0 0
00

noch die Permutationsmatrizen ber¨cksichtigen (vgl. Bsp. 3.4.11):
u



1
000
00

1 0 0
0 0
 , L−1 = P34 L−1 P34 =  0
˜

2
2
 0 −1 1 0  ,

10
2
1
0
001
21

˜
L−1 = P34 P24 L−1 P24 P34
12



10
 −1 1
= 2
 −1 0
4
1
−2 0

Damit erhalten wir letztlich dann folgendes Ergebnis:


1

 −1
˜
˜
˜
L = L− 1 · L− 1 · L− 1 =  2
1
2
3
 −1
4
−1
2

Aufgabe 11 (Beweis von Satz 3.3.3)

0
1
1
−2
0

0
0
1
0


0
0
.
0
1


00
0 0

1 0
1
21
(4+3+3 Punkte)

(1)

(2)

a) Seien L(1) = (ℓik )i,k=1,...,n ∈ Rn×n und L(2) =...