M TODO DE BISECCI N 1 1

Universidad Internacional San Isidro Labrador
Sede Regional Grecia

Licenciatura en Enseñanza de la Matemática

Curso: Métodos Numéricos

Profesor: Lic. Franz Alfaro Morera

Trabajo de Investigación; Método de Bisección y Método del Punto Fijo

Estudiantes:
Joaquina Escalante Landaverde
Noemy Morera Chaves
Cesia A. Ruiz Corella

Fecha de entrega: 30 de mayo de 2015
II Cuatrimestre 2015

ReseñaHistórica
Un método iterativo trata de resolver un problema matemático (como una ecuación o un sistema de ecuaciones) mediante aproximaciones sucesivas a la solución, empezando desde una estimación inicial. Esta aproximación contrasta con los métodos directos, que tratan de resolver el problema de una sola vez. Los métodos iterativos son útiles para resolver problemas que involucran unnúmero grande de variables (a veces del orden de millones), donde los métodos directos tendrían un coste prohibitivo incluso con la potencia del mejor computador disponible.
De los métodos iterativos existentes, se van a desarrollar dos; el método de la bisección y el método del punto fijo.
El método de la bisección está basado en dos teoremas: (1) El teorema del Bolzano (1817) que estableceque sea f una función real continua en un intervalo cerrado [a,b] con f(a) y f(b) de signos contrarios. Entonces existe al menos un punto c del intervalo abierto (a, b) con f(c) = 0. (2) El teorema de valor intermedio que establece que toda función continua f, en un intervalo cerrado [a, b], toma los valores que se hallan entre f(a) y f(b), de tal forma que la ecuación f(x)=0 tiene una solaraíz que verifica f(a) . f(b) < 0 (En palabras simples: si una función viaja del punto a al punto b, ha de pasar por m, que es cuando la función se hace cero. Ése es el punto que buscamos).
El teorema del punto fijo de Brouwer (nombrado así en honor al matemático holandés Luitzen Egbertus Jan Brouwer) forma parte de la familia de los así llamados «teoremas de punto fijo», que enuncian que, siuna función f verifica ciertas propiedades, entonces existe un punto x tal que f(x) = x, es decir, un punto fijo de la función. La forma más simple del teorema de Brouwer asume por hipótesis que la función f está definida sobre un intervalo cerrado y acotado, de extremos diferentes. De manera más general, la función está definida sobre un conjunto convexo y compacto K de un espacio euclídeo y avalores en K.
Históricamente, el estudio del teorema proviene de los trabajos de los matemáticos franceses Poincaré y Picard sobre ecuaciones diferenciales.
La historia del teorema del punto fijo de Brouwer impone un pasaje por una ecuación diferencial. Hacia finales del siglo XIX, una conocida pregunta llama nuevamente la atención de la comunidad científica, la de la estabilidad delsistema solar, su resolución supone el desarrollo de nuevos métodos. Como remarca Henri Poincaré, al estudiar el problema de los tres cuerpos, la búsqueda de una solución exacta es en vano: «Nada es más propio para darnos una idea de lo complicado del problema de los tres cuerpos y en general de todos los problemas de Dinámica, en donde no hay integral uniforme y donde las series de Bohlin divergen».También hace notar que la búsqueda de una solución aproximada no es más eficaz: «[...] mientras más precisas tratamos de obtener las aproximaciones, más tiende el resultado a divergir hacia una imprecisión creciente».
Estudia una cuestión análoga a la del movimiento de la superficie de una taza de café. ¿Qué puede decirse, en general, de las trayectorias de una superficie animada por unacorriente constante? Poincaré descubre que la respuesta reside en lo que hoy se llaman las propiedades topológicas de la zona que contiene la trayectoria. Si es una zona compacta (es decir, a la vez cerrada y acotada), entonces la trayectoria o bien se inmoviliza, o bien se acerca de más en más a un bucle que recorre indefinidamente. Poincaré va más lejos aún, si la zona definida es de la misma...