N Meros Complejos SEM2015

Números Complejos

Los números complejos son una extensión de los números reales y forman el mínimo cuerpo algebraicamente cerrado que los contiene. El conjunto de los números complejos se designa con la notación, siendo  el conjunto de los números reales se cumple que  ( está estrictamente contenido en). Los números complejos incluyen todas las raíces de los polinomios, a diferencia de losreales. Todo número complejo puede representarse como la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i), o en forma polar.

Definición
Definiremos cada complejo z como un par ordenado de números reales (a, b) ó (Re(z), Im(z)), en el que se definen las siguientes operaciones:
Suma:
Producto por escalar:
Multiplicación:Igualdad:

A partir de estas operaciones podemos deducir otras como las siguientes:

Resta:
División


Al primer componente (“a”) se le llama parte real y al segundo (“b”), parte imaginaria. Se denomina número imaginario puro a aquel que está compuesto sólo por la parte imaginaria, es decir, aquel en el que  .


Cuerpo de los números complejos
Los números complejos forman un cuerpo, elcuerpo complejo, denotado por C (o más apropiadamente por el carácter Unicode ℂ ). Si identificamos el número real a con el complejo (a, 0), el cuerpo de los números reales R aparece como un sub-cuerpo de C. Más aún, C forma un espacio vectorial de dimensión 2 sobre los reales. Los complejos no pueden ser ordenados como, por ejemplo, los números reales, por lo que C no puede ser convertido de ningunamanera en un cuerpo ordenado.
Unidad Imaginaria
Tomando en cuenta que, se define un número especial en matemáticas de gran importancia, el número “i” o unidad imaginaria, definido como

De donde se deduce inmediatamente que,


REPRESENTACIONES
Representación Binómica
Un número complejo se representa en forma binomial como:
La parte real del número complejo y la parte imaginaria, se puedenexpresar de varias maneras, como se muestra a continuación:



Representación Polar
En esta representación, “” es el módulo del número complejo y el ángulo “” es el argumento del número complejo.


Despejamos a y b en las expresiones anteriores y, utilizando la representación binomial:
Sacamos factor común r:
Frecuentemente, esta expresión se abrevia convenientemente de la siguiente manera: lacual solo contiene las abreviaturas de las razones trigonométricas coseno, la unidad imaginaria y la razón seno del argumento respectivamente.
Según esta expresión, puede observarse que para definir un número complejo tanto de esta forma como con la representación binomial se requieren dos parámetros, que pueden ser parte real e imaginaria o bien módulo y argumento, respectivamente.
Segúnla Fórmula de Euler, vemos que:
No obstante, el ángulo  no está unívocamente determinado por z, pueden existir infinitos números complejos que tienen el mismo valor representado en el plano, que se diferencian por el número de revoluciones, ya sean de sentido anti-horario (positivas) u horario (negativas) las cuales se representan por números enteros, como implica la fórmula de Euler:

Por esto,generalmente restringimos  al intervalo [-π, π) y a éste  restringido lo llamamos argumento principal de z y escribimos φ=Arg(z). Con este convenio, las coordenadas estarían unívocamente determinadas por z.

OPERACIONES

Operaciones en forma polar
La multiplicación de números complejos es especialmente sencilla con la notación polar:

División:

Potenciación:



Geometría y operaciones con complejosGeométricamente, las operaciones algebraicas con complejos las podemos entender como sigue. Para sumar dos complejos z1 =a1 + ib1 y z2 = a2 + ib2, podemos pensar en ello como la suma de dos vectores del plano x-y apuntando desde el origen al punto (a1, b1) y (a2, b2), respectivamente. Si trasladamos (movemos) el segundo vector, sin cambiar su dirección, con lo que su punto de aplicación coincide...