Área y Volumen

ÁREA

El área de una superficie es un número que indica las veces en que una cierta unidad de superficie, está contenida en la superficie total.
Tal como en el caso del perímetro, aquí también hablamos de un número como resultado de una medición.

Empecemos por considerar superficies planas, entendiendo por tal a la parte del plano limitada por los lados de una figura, es decir,consideramos superficies acotadas. Las siguientes figuras geométricas elementales muestran la superficie que definen en forma sombreada:





Así como para medir longitudes, las unidades son trazos, para medir superficies las unidades son cuadradas; su nombre y valor se derivan de las unidades de longitud; por ejemplo, si la medida es un cuadrado de 1 cm por lado, se denomina 1 cm2, y se lee, uncentímetro cuadrado.

= 1 cm2


1 cm

Como ya dijimos, el área es la medida de una superficie y por lo tanto, se expresa en unidades cuadradas del Sistema Métrico Decimal como el mm2, cm2, dm2, m2, hm2, km2, y otras del sistema inglés.

Para obtener el área de una superficie, es necesario que las dimensiones que se dan estén expresadas con la misma unidad de medida, por ejemplo, metroscon metros o kilómetros con kilómetros. Cuando las dimensiones tienen unidades de medida diferentes se debe hacer una conversión para poder obtener el área, pues en caso contrario las unidades que se obtendrían no serían cuadradas, tendrán forma rectangular.

Área del triángulo
Considérese los rectángulos a, b y c, y obsérvese el triángulo sombreado que contiene.


a)b) c)

A
L
T
U
R b
A


triángulo
A = B • h / 2


Nótese que la base y la altura de cada triángulo miden igual que la base y la altura del rectángulo que lo contiene (en b) hay un pequeño error pues h no alcanza a ser exactamente igual a la altura del rectángulo).
Si se recorta y sobrepone el triángulo I del primerrectángulo en el triángulo sombreado se podrá observar que los dos triángulos coinciden; son de igual medida:


Haciendo lo mismo con los triángulos I y II de los rectángulos b y c se tiene:



Se puede observar que los triángulos I y II forman otro que coincide con el triángulo sombreado.

Cada rectángulo contiene dos triángulos cuya base y altura es igual a labase y altura del rectángulo.

Por lo tanto, el área de uno de los triángulos es la mitad del área del rectángulo. Esto es: Área del triángulo igual a la mitad del área del rectángulo que lo contiene.

A = A
2
Pero como A = b * h
Entonces:




Hay que partir de la base de que una figura geométrica, puede ser desde una simple recta, a figurasplanas como el caso del triángulo y a figuras de tres dimensiones como una pirámide, es decir, figuras geométricas lo son todas.

Por otro lado, algunas de ellas pueden tener superficie y otras también volumen.

Para que una figura geométrica tenga volumen se ha de cumplir que tenga tres dimensiones, y que sea cerrada. Una figura con forma similar a un muelle, si tiene 3 dimensiones, pero noestá cerrada por lo que no se puede establecer su volumen y ni siquiera su superficie.

Finalmente el volumen es el valor numérico que representa en unidades elevadas al cubo la capacidad de ese elemento.

Es evidente que cada figura geométrica tiene una fórmula que define su volumen, y que esta puede ser tan sencilla como la del cálculo de un cubo, a alguna tan complicada que tan solo puedeser definida por integrales.

Como ejemplo de una figura compleja para el cálculo de su volumen, imagina que en un torno decides realizar un cántaro de arcilla, si quieres calcular su volumen de forma matemática, lo vas a tener difícil, menos mal que por lo menos en este caso, te resulta más sencillo llenarlo con agua y evaluar su volumen de forma directa, pero no siempre hay tanta suerte....