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SISTEMAS DE ECUACIONES.
MÉTODO DE GAUSS

Ecuaciones e incógnitas. Sistemas de ecuaciones
1. ¿Podemos decir que las dos ecuaciones siguientes son dos “datos distintos”?
¿No es cierto que la segunda dice lo mismo que la primera?
° 2x + y = 5
¢
£ 4x + 2y = 10
■

Represéntalas gráficamente y observa que se trata de la misma recta.

■

Escribe otro sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas en elque la
segunda ecuación sea, en esencia,
igual que la primera. Interprétalo
gráficamente.

Unidad 1. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss

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2. Observa las ecuaciones siguientes:
° 2x + y = 5
§
¢ x– y=1
§
£ x + 2y = 4
■

Represéntalas gráficamente y observa
que las dos primeras rectas determinan un punto (con esos dos datos se
responde a las dos preguntas: x = 2,
y = 1). Comprueba que latercera recta también pasa por ese punto.

■

Da otra ecuación que también sea
“consecuencia” de las dos primeras.
Por ejemplo:
2 · (1.ª) + 3 · (2.ª)
Represéntala y observa que también
pasa por x = 2, y = 1.

3. Considera ahora estas ecuaciones:
° 2x + y = 5
¢
£ 2x + y = 7
Observa que lo que dice la segunda
ecuación es contradictorio con lo que
dice la primera.
■

2

Represéntalas y observa que setrata
de dos rectas paralelas, es decir, no
tienen solución común, pues las rectas no se cortan en ningún punto.

Unidad 1. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss

UNIDAD

■

1

Modifica el término independiente de la segunda ecuación del sistema que inventaste en el ejercicio 1 y representa de nuevo las dos rectas.
Observa que lo que dicen ambas ecuaciones es ahora contradictorio y que serepresentan mediante rectas paralelas.

1. Sin resolverlos, explica por qué son equivalentes los siguientes pares de sistemas:
° x+y=5
a) ¢
£ 2x – y = 7
° x+y= 5
¢
£ 3x – y = 12
° x+ y–z= 5
§
c) ¢ x + y – z = 7
§
£ 2x + 2y – z = 12
z=2
°
¢
£ x+y–z=7

Unidad 1. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss

°x+y–z=5
b) ¢
£x+y–z=7
z=2
°
¢
£ x+y–z=7

° x + y – z = 11
d) ¢
£ x + 2y – z = 7
° x + y – z = 11
¢
y – z= –4
£

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1. Resuelve e interpreta geométricamente los siguientes sistemas:
° 2x + y = 1
§
a) ¢ 3x + 2y = 4
§
£ x+ y=3

°x+ y+z=6
§
y–z=1
b) ¢
§
£ x + 2y + z = 7

° x+y+z=6
§
c) ¢ x + y + z = 0
§
£x y– z=0

°x+y+z=6
§
y–z=1
d) ¢
§
z=1
£

° x + 2y = 3
2. a) Resuelve este sistema: ¢
£ x– y=4
b) Añade una tercera ecuación de modo que siga siendo compatible.
c) Añade una tercera ecuaciónde modo que sea incompatible.
d) Interpreta geométricamente lo que has hecho en cada caso.

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Unidad 1. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss

UNIDAD

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1. Reconoce como escalonados los siguientes sistemas y resuélvelos:
° 3x – 2y = 7
a) ¢
£ x – 2y = 5

° 2x + y + 3z = 6
§
b) ¢ x + y + 3z = 7
§
£ 5x + y – z = 4

° 2x + + 3z – 2t = 6
§
c) ¢ x + y + 3z– 2t = 7
§
£ 5x + y – 3z + t = 4

° 2x + 3y+ 3z = 0
§
d) ¢ x + 3y – z = 7
§
£ 4x + 3y + 3z = 4

Unidad 1. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss

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2. ¿Son escalonados estos sistemas? Resuélvelos:
z+ t=3
°
2y + z = 1
°
§
x
+
y
+
z
=
7
x
+
y
+
z
=
3
y
+
3z
– 2t = 4
§
°
°
§
2y + 2z = 1 b) ¢
a) ¢
c) ¢
d) ¢
2z + 2t = 2
§
§
£ 2x + y – z = 4
£x – y – z = 2
§
£ x + 2y + 2z = 1
£ x + y – z + 2t = 5

3. Transforma en escalonados y resuelve:

6° 2x – 3y = 21
a) ¢
£ 3x + y = 4

° x – y + 3z = – 4
§
b) ¢ x + y + z = 2
§
£ x + 2y – z = 6

° x+y+z= 6
§
c) ¢ x – y – z = – 4
§
£ 3x + y + z = 8

= 0
° x – y + 3z
§
§ 3x – 2y – 5z + 7w = –32
d) ¢
§ x + 2y – z + 3w = 18
§
£ x – 3y + z + 2w = –26

Unidad 1. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss

UNIDAD

Unidad 1. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss

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1. Resuelve estos sistemas deecuaciones utilizando el método de Gauss:
° x+ y+ z=2
§
a) ¢ 3x – 2y – z = 4
§
£ –2x + y + 2z = 2

° 3x – 4y + 2z = 1
§
b) ¢ –2x – 3y + z = 2
§
£ 5x – y + z = 5

= –3
° x – 2y
§
c) ¢ –2x + 3y + z = 4
§
£ 2x + y – 5z = 4

2. Resuelve mediante el método de Gauss:
° x – y + 2z = 2
§
a) ¢ –x + 3y + z = 3
§
£ x + y + 5z = 7

8

°
§
§
b) ¢
§
§
£

2x – y
+ w=0
x – 2y + z
=0
5x – y + z + w = 0
5x – 2y – z...