02 Integral Definida

CÁLCULO II
D E P A R T A M E N T O

D E

C I E N C I A S

B Á S I C A S

INTEGRAL DEFINIDAD

Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
Departamento de Ciencias Básicas

UNIDAD _ Integral definida
Interpretación de la integral definida
Propiedades generales de la integral definida
Areas en Coordenadas Cartesianas
Areas positivas y negativas
Areas simples entre curvas
Volumen de Sólidos enRevolución:
- Método de los disco.
- Método de las arandelas (sólido de revolución con agujero)
Caso 1: Rotación en torno al eje %.
Caso 2: Rotación en torno a un eje paralelo al eje %.
- Método de los anillos cilíndricos
Longitud de Arco en Coordenadas Cartesianas.
Area de superficie en revolución
Autoevaluación

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74
80
89
90
103
104
106
114
121
128
132

Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez

UNIDADN°2: Integral Definida
Interpretación de la integral definida:

VIRGINIO GOMEZ

Departamento de Ciencias Básicas

Sea & ~  %! una función continua en el intervalo [Á  ], cuya gráfica es:
y
y = f(x)

A
x
a

b

Sea ( una región del plano comprendida entre la función & ~  %!, el eje %, las rectas % ~  y
%~
Nuestro interés esta en el siguiente problema:

Como calcular el área de la región (achurada en los límites planteados:
y

y
y = f(x)

A

A

x

x
0

a

b

Para evaluar el área bajo la curva se realiza el siguiente proceso:

1.Dividir el intervalo [Á  ] en un cierto número  de subintervalos, no necesariamente iguales.
Sea los punto de subdivisión

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Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez

y

y

y = f(x)

y = f(x)

.........

A

.........

x
0

a

VIRGINIO GOMEZ

Departamentode Ciencias Básicas

b

x

a=x0 x1 x2 ..... xi-1 xi ....... xn-1 xn =b
donde:
 ~ %  %  %  ÀÀÀÀÀÀÀÀÀÀÀ  %c  %  ÀÀÀÀÀÀÀÀÀÀ  %c  % ~ 

- Los intervalos no tienen necesariamente la misma longitud
- El primer intervalo esta dado por: <% Á % = ~ <Á % = D% tal que: %  %  %
- Longitud de cada subintervalo es:
~ % c % para el 1er subintervalo
~ % c % para el 2do subintervalo~ % c % para el 3er subintervalo
~ % c % para el 4to subintervalo
Å
z  ~ % c %c para el -ésimo subintervalo
Å
z  ~ % c %c para el -ésimo subintervalo
z
z
z
z

2.Cada subintervalo forma un rectángulo de base - % ~ % c %c y altura   !
Donde:
  "% Á %c # es decir %    %c esto es D  ~ Á Á Á ÀÀÀÁ 
y

y

f(cn)

y = f(x)

f(ci)
f(ci)

.........

A
x
0

a

b

0.........

a=x0 x1 x2 ..... xi-1 xi ....... xn-1 xn =b
c1 c2

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y = f(x)

ci

cn

x

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Departamento de Ciencias Básicas

VIRGINIO GOMEZ

3.Calculando el área de cada rectángulos formados por los subintervalos de base - % ~ % c %c
y altura   !
( š   ! h - % ~   ! h % c % !
( š   ! h - % ~   ! h % c % !
( š   ! h - % ~   !h % c % !
.
Å
( š   ! h - % ~   ! h % c %c !
Å
( š   ! h - % ~   ! h % c %c !
Sumando el área de todos los rectángulos formados, tenemos una buena aproximación deseada del

área bajo la curva de la función & ~  %! en el intervalo "Á # y las rectas % ~ Á % ~ 
Área Región 9 š   ! h - % b   ! h - % b   ! h - % b ÀÀÀ b   ! h - %

Área de la Región: ( š   ! h - %
~
Debemos notar que:

-A medida que el número de intervalos  aumenta, la aproximación será aun mejor.
-Cuando el número de subintervalos tiende a infinito  ¦ B, es equivalente a decir que la
longitud de los subintervalos - % ¦  (este intervalo es un infinitesimal)
A partir de este concepto se define el área bajo la curva de una función como la integral

definida de la función %! desde  hasta  .


Área de la Región:

( ~ lim   ! h - %
P"P¦

~

Este límite corresponde a lo que se denomina INTEGRAL DEFINIDA, se expresa como:


( ~   %!%


Por lo tanto: El área bajo la curva entre % ~  y % ~  , se evalúa como la integral definida de la
función & ~  %! entre los limites de integración  y  .
y
y = f(x)

b

Área de la Región

³ f ( x)dx
a

El Área de...