03 Series Sol

Series de números reales
1

Convergencia de series numéricas
Ejercicio 1. Aplicar el criterio de la raíz para estudiar la posible convergencia de las siguientes
series:
nn
n+1 n
d)
a)
(n2 +1)
3n−1
b)
c)

e

n 2n−1
3n−2
nn
(2n+1)n

1+

e)

2
1 −n
n

Solución 1.
a) Aplicamos el criterio de la raíz limn→∞
es convergente.
b) Aplicamos el criterio de la raíz
lim

n
3n − 2

n

n→∞

n+1 n
3n−1

n

2n−1= limn→∞

n
= lim
n→∞ 3n − 2

2n−1
n

=

n+1
3n−1

=

1
3

1
3

< 1. Por tanto, la serie

2

< 1.

Por tanto, la serie es convergente.
c) Aplicamos el criterio de la raíz,
lim

n→∞

n

n
1
nn
= lim
= .
n
n→∞ 2n + 1
(2n + 1)
2

En consecuencia, la serie es convergente.
d) Aplicamos el criterio de la raíz:
lim

n→∞

√n
an = lim

n→∞

n
e

n2 +1
n

= lim

n

n→∞ en

1
=0<1
e1/n

de lo que se deduceque la serie es convergente.
e) Aplicamos el criterio de la raíz
lim

n→∞

n

1
1+
n

−n2

1

= lim

n→∞

n

1+

= lim
2
1 n
n

n→∞

1
1+

1 n
n

=

1
<1
e

y, en consecuencia, la serie es convergente.
Ejercicio 2. Aplicar el criterio del cociente para estudiar la posible convergencia de las siguientes
series:
2·5·8···(3n−1)
1
a)
d)
n2n
1·5·9···(4n−3)
n
1 2
2n n!
b)
e)
n 5
nn
c)

(n+1)n
3n n!Solución 2.

–1–

a) Aplicamos el criterio del cociente:
an+1
lim
= lim
n→∞ an
n→∞

1
(n+1)2n+1
1
n2n

n
1
= < 1.
n→∞ 2(n + 1)
2

= lim

Por tanto, la serie es convergente.
b) Aplicamos el criterio del cociente,
lim

n→∞

1
n+1
1
n

2 n+1
5
2 n
5

n 2 2
= < 1.
n→∞ n + 1 5
5

= lim

Por tanto, la serie es convergente.
c) Aplicamos el criterio del cociente,
an+1
lim
= lim
n→∞ an
n→∞

(n+2)(n+1)
3n+1(n+1)!
(n+1)n
3n n!

1 n+2
= lim
n→∞ 3 n + 1

n+1

=

e
< 1,
3

y, por tanto, la serie es convergente. Observa que en el último paso hemos utilizado la regla del
número e.
d) Aplicamos el criterio del cociente
2·5·8···(3n−1)(3n+2)
1·5·9···(4n−3)(4n+1)
lim
2·5·8···(3n−1)
n→∞
1·5·9···(4n−3)

= lim

n→∞

3n + 2 3
= <1
4n + 1 4

y, por tanto, la serie es convergente.
e) Aplicamos el criterio delcociente:
2n+1 (n + 1)! nn
n
= lim 2
n→∞ (n + 1)n+1 2n n!
n→∞
n+1
lim

n

=

2
<1
e

de lo que se deduce la convergencia de la serie.
Ejercicio 3. Aplicar el criterio de comparación para estudiar la posible convergencia de las
siguientes series:
log(n)
1
a)
e)
n
(2n−1)2n
1
√
b)
√1
f)
n(n+1)
n
c)
d)

1
2n−1
1
2n −n

g)

√
3

n
√
(n+1) n

Solución 3.
a) Comparamos con la serie 1n que no es convergente.Como log(n)
≥ 1n , la serie no es convern
gente.
b) Comparamos con la serie armónica n1 :
√
1
n(n + 1)
n(n + 1)
n
lim
= lim
= lim
= 1.
1
n→∞ √
n→∞
n→∞
n
n2
n(n+1)

–2–

Por tanto, las dos series tienen el mismo carácter y, en consecuencia, la serie
convergente.
c) No es convergente. La serie se comporta igual que la serie armónica
d) Comparamos con la serie convergente 21n .
1
2n
n→∞ n1
2 −n

limPor tanto, la serie es convergente.
e) Comparamos con la serie convergente
1
n2
1
n→∞
(2n−1)2n

lim

1
n(n+1)

√

no es

1
n.

2n − n
= 1.
n→∞ 2n

= lim

1
n2

(2n − 1)2n
= 4.
n→∞
n2

= lim

Por tanto, las dos series tienen el mismo carácter y, en consecuencia, la serie es convergente.
f) No es convergente porque √1n ≥ 1n .
g) Comparamos con la serie convergente
lim n

n→∞

7/6

1
n7/6

√3
√
n nn
√ = lim
√ =1
(n + 1) n n→∞ (n + 1) n

y, por tanto, la serie es convergente.
Ejercicio 4. Aplicar el criterio de condensación para estudiar la posible convergencia de las
siguientes series:
1
a)
n log(n)
b)
c)

1
n(log(n))2
1
n(log(n)) log(log(n))

Solución 4.
a) Aplicando el criterio de condensación, la serie tiene el mismo carácter que la serie
1
1
1
log(2n ) =
n log(2) y esta última serie noes convergente comparando con
n.
b) Aplicando el criterio de condensación

1
2n 2n (log(2
n ))2 =

1
n2 (log(2))2

1
2n 2n log(2
n) =

y esta última serie es con-

1
).
n2

vergente (compárase con
c) El término general es decreciente y convergente a cero. Estamos en condiciones de aplicar el
criterio de condensación. La serie tiene el mismo carácter de convergencia que la serie
2n
=
2n log (2n )...