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III.- CONDUCCIÓN DE CALOR EN RÉGIMEN ESTACIONARIO EN
FUNCIÓN DE DOS O MAS VARIABLES
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III.1.- MÉTODO ANALÍTICO
En los casos de conducción de calor estudiados se ha supuesto que la distribución de temperaturas
era función de una sola variable, (sistemas unidimensionales), en régimen estacionario. En el presente capítulo vamos a estudiar la conducción térmica en funciónde dos o más variables independientes
en régimen estacionario, y aunque las soluciones analíticas obtenidas para estos casos tengan muy
poco valor práctico, se incluyen para hacer resaltar las técnicas matemáticas que han de utilizarse en
casos más complejos y de mayor utilidad que se abordarán en el régimen transitorio.
Cuando se tenga más interés en los resultados finales que en el desarrollomatemático de las soluciones, la obtención de éstas en algunos problemas de importancia práctica se han conseguido con
ayuda de gráficas relativamente sencillas.
Conducción en régimen permanente en placas rectangulares.- Vamos a estudiar en primer
lugar la conducción en régimen permanente de una placa rectangular como la representada en la Fig
III.1.
Para calcular la distribución de temperaturas enla placa utilizaremos coordenadas cartesianas,
considerando como plano (x,y) el de la placa y como origen de coordenadas el vértice.
Supondremos que no existe conducción en la dirección z, normal a la placa; ésto se cumplirá si la
placa tiene una gran longitud en esta dirección, sólido infinito, de forma que no se produzcan efectos
de borde L >> b; L >> a, o que éstos efectos sean despreciables, osi las caras x, y están aisladas térmicamente.
La ecuación de conducción del calor para el régimen permanente, en coordenadas cartesianas y
∂2T
∂2T
+
= 0 , que es una ecuación diferencial lineal a la que se puede aplicar
dos dimensiones es
∂x 2
∂y 2
el principio de superposición.
La solución de la ecuación anterior se obtiene suponiendo que la distribución de temperaturas se
puede expresar como elproducto de dos funciones, cada una de las cuales depende solamente de una de
III.-47

 X(x) es únicamente función de x
las variables independientes; es decir, que si 
, podemos suponer que
Y(y) es únicamente función de y
la temperatura viene dada por:
T = X(x) Y( y)

Sustituyendo este valor en la ecuación diferencial de partida y ordenando la expresión resultante,
se tiene:
2
2
Y ∂ X
+X ∂ Y=0
2
∂x
∂y 2

;

2
2
- 1 ∂ X
= 1 ∂ Y
X ∂x 2
Y ∂y 2

Como cada miembro de esta ecuación depende sólo de una variable, los dos miembros tienen que
ser iguales a una constante λ2 por lo que se puede poner:
2
2
- 1 ∂ X
= 1 ∂ Y
= λ2
2
X ∂x
Y ∂y 2

sistema que es equivalente al de las dos ecuaciones diferenciales siguientes:
∂2 X + λ 2 X = 0
∂x 2
∂ 2 Y - λ2 Y = 0
∂x 2



 Y = B1 Sh ( λ y) + B 2 Ch (λ y )
 ⇒ cuyas soluciones son:  X = B sen ( λ x ) + B cos ( λ x )

3
4



por lo que la distribución de temperaturas es:
T = { B1 Sh ( λ y ) + B2 Ch ( λ y )} { B3 sen ( λ x ) + B 4 cos ( λ x )}

en la que λ y las B son constantes que hay que determinar mediante las condiciones de contorno.
Placa rectangular con una distribución de temperatura dada en una arista y nula en
las demás.-Consideremos la placa rectangular de la Fig III.2 de dimensiones respectivas a y b, según los ejes x e y.

Fig III.1

Fig III.2

Se puede suponer que la temperatura es nula en los bordes (x = 0), (x = a), (y = 0) y variable en el
borde (y = b), que se puede representar como f(x) en el campo 0 ≤ x ≤ L, de forma que se opera como si
fuese conocida. La anulación de la temperatura en los otros bordes no esesencial, pues basta conque
se mantenga constante, tal como Tc, por lo que el problema se puede reducir al expuesto anteriormente mediante la superposición de una constante -Tc a toda la configuración.
Las condiciones de contorno que han de aplicarse a la ecuación general para la determinación de
las constantes son, Fig III.2, las siguientes:
III.-48

 x = 0, T = 0 ; x = a, T = 0
Para: 
 y = 0...