05 Autocorrelacion

ECONOMETR´IA II:
ECONOMETR´IA DE SERIES TEMPORALES

Regresi´on con autocorrelaci´on

Introducci´
on:
• Consideramos la regresi´on
yt

=

β0 + β1 x1t + · · · + βk xkt + · · · + βK xKt + ut

=

β xt + ut

con las hip´otesis cl´asicas:
i)

E (ut |xt , xt−1 , ut−1 , . . .) = 0

ii)

E (yt |xt , xt−1 , ut−1 , . . .) = β xt

iii)

E (ut2 |xt , xt−1 , ut−1 , . . .) = σ 2 para todo t

iv )

E (ut ut−k|xt , xt−1 , ut−1 , . . .) = 0 para todo k = t

• Entonces, tenemos que
βˆ = (X X)−1 X y,

ˆ = σ 2 (X X)−1
Var (β)

Introducci´
on (cont.):
• iii) en palabras: una hip´otesis de homocedasticidad
• vi) en palabras: una hip´otesis de no autocorrelaci´on
• El objetivo del Tema IV es estudiar
yt = β xt + ut
con {ut } heteroced´asticos y autocorrelados

Heterocedasticidad:
• Recordamos:
yt

=

β0 + β1x1t + · · · + βK xKt

+

ut

Explicaci´
on

Error de la

econ´
omica

explicaci´
on

• ¿Qu´e significa heterocedasticidad en el error? Es decir, ¿qu´e
significa que E (ut2 |xt , xt−1 , ut−1 , . . .) no es constante?
→ Que la precisi´on de la explicaci´on econ´omica no es constante
• Fuente de heterocedasticidad: Cambios estructurales, eventos
especiales, etc.

Heterocedasticidad (cont.):
•¿Cu´ales son las consecuencias de la heterocedasticidad?
→ Que la estimaci´on de la varianza de los par´ametros no es
correcta. Es decir, que σ 2 (X X)−1 no es una estimaci´on
ˆ
consistente de Var (β)
ˆ se utilizan para contrastes sobre
• Recuerda, las Var (β)
β0 , β1 , . . . , βK :
t − stat = √

βˆk
Var (βˆk )

• Dicho de otra manera, utilizar σ 2 (X X)−1 cuando hay
heterocedasticidad puede llevar aconclusiones err´
oneas sobre los βk
• Sin embargo, todav´ıa tenemos que (X X)−1 X y es una
estimaci´on consistente de β

Heterocedasticidad (cont.):
• ¿Qu´e hacemos si los {ut } son heteroced´asticos?
→ ”Plan A”: mejorar β xt (a˜
nadir variable(s), borrar
variable(s), re-transformar variable(s), etc.)
ˆ
→ ”Plan B”: utilizar estimadores consistentes de Var (β)
ˆ
• White (1980) desaroll´o unestimador consistente de Var (β)
cuando los {ut } son heteroced´asticos de una manera desconocida
• Newey y West (1987) propusieron un estimador m´as general que
es consistente cuando hay, posiblemente a la vez,
heterocedasticidad y autocorrelaci´on de forma desconocida
• Los estimadores de White (1980) y de Newey y West (1987)
ˆ y hacer
permiten calcular estimaciones consistentes de Var (β),
ˆ
contrastessobre los β

Heterocedasticidad (cont.):
• En resumen, los estimadores de White y Newey-West substituyen
σ 2 en el estimador ordinario σ 2 (X X)−1 con, respectivamente, la
2
2
matriz σt,W
en el caso de White, y la matriz σt,NW
en el caso de
Newey-West
• Nota: El estimador de White se puede utilizar cuando β xt + ut
tiene una estructura ARMA(p, q), o cuando una parte de β xt + ut
tiene unaestructura ARMA(p, q)
• Ejemplos:
yt

=

β0 + β1 yt−1 + ut

yt

=

β0 + β1 yt−1 +

yt

=

β0 + β1 yt−1 + β2 it +

t

+ θ1

t−1
t

+ θ1

t−1

Heterocedasticidad (cont.):
• En EViews existe la opci´on de estimar modelos con el estimador
de White o el de Newey-West en lugar del estimador ordinario:
despu´es de especificar el modelo, hacer clic en ”Options”, luego en
”Heteroskedasticity consistentcoefficient covariance”, y finalmente
eligir el estimador deseado
• En los resultados de EViews, hay una nota que nos indica que
estimador ha sido utilizado

Autocorrelaci´
on:
• Recordamos:
yt

=

β0 + β1 x1t + · · · + βK xKt

+

ut

Explicaci´
on

Error de la

econ´
omica

explicaci´
on

• ¿Qu´e significa autocorrelaci´on en el error? Es decir, ¿qu´e
significa que los E (ut ut−k |xt , xt−1 , ut−1 , . ..) no son iguales a cero?
→ La raz´on m´as frecuente es que uno o varios de los par´ametros βk no son constantes durante la muestra
• Fuente de autocorrelaci´on: Cambios estructurales, eventos
especiales, etc.

Autocorrelaci´
on (cont):
• ¿Cu´ales son las consecuencias de la autocorrelaci´on?
→ Si la fuente de la autocorrelaci´on es que los par´ametros no
son constantes, y si la falta de...