08 ControladoresContinuos

1. Aproximación de Controladores Continuos

1. Aproximación de Controladores Continuos ____________________________ 1
1.1. Introducción ________________________________________________________ 2
1.2. Aproximación Basada en la Función de Transferencia _____________________ 2
1.1.1. Aproximación de Tustin ______________________________________________ 2
1.1.2. Problemas en el dominio Frecuencia_____________________________________ 3
1.1.3. Respuestas Equivalentes ______________________________________________ 5

1.3. Aproximación Basada en Variables de Estado ____________________________ 8
1.4. Métodos Basados en Respuesta en Frecuencia ___________________________ 10
1.1.4. Método de la Transformada w _________________________________________ 10

Control Digital 08.doc 1

1.1.Introducción
Muchas veces ya existe un controlador analógico
Se intenta reproducir su comportamiento
Con un período de muestreo pequeño se puede solucionar.
1.2. Aproximación Basada en la Función de Transferencia
Se intenta aproximar G ( s )
u(t)

u(kt)
CAD

y(kt)
Algoritmo

y(t)
CDA

text

Reloj

1.1.1. Aproximación de Tustin
aproximación de derivada como una diferencia en adelanto (método de Euler)

px =dx ( t )
dt

≈

x (t + T ) − x ( t )
T

=

q −1
x (t )
T

[1.1]

como una diferencia hacia atrás
px =

dx ( t )
dt

≈

x (t ) − x (t − T )
T

=

q −1
x (t )
qT

[1.2]

en transformadas significa reemplazar

s=

z −1
z −1
o s=
T
zT

[1.3]

que corresponden a un desarrollo en serie truncado
Para el método de Euler

z = esT ≈ 1 + sT

[1.4]

para la diferencia hacia atrás

z = esT ≈

1
1 − sT

[1.5]Otra aproximación: el método trapezoidal o método de Tustin
Control Digital 08.doc 2

z = esT

sT
2
≈
sT
1−
2
1+

[1.6]

Se reemplaza directamente s por alguna de sus aproximaciones:
Euler

s′ =

z −1
T

[1.7]

diferencia hacia atrás

s′ =

z −1
zT

[1.8]

Tustin o bilineal

s′ =

2 z −1
T z +1

[1.9]

de este modo se obtiene
H ( z ) = G ( s′ )

[1.10]

La figura muestra el mapeo del semiplanonegativo de s

Plano Z

Diferencia en Adelanto

Diferencia en Atraso

Tustin

1.1.2. Problemas en el dominio Frecuencia
Con estas aproximaciones se distorsiona la escala de frecuencias.
Si se quiere digitalizar un filtro pasa banda o notch puede haber distorsiones.
Ejemplo: transmisión de una senoide a través de un filtro con BO0
Control Digital 08.doc 3

H ( e jωT ) =

 2 e jωT −1 
1
jωT
1
−
e
G(
)  T e jωT + 1 
jωT



[1.11]

el factor anterior es debido al bloqueador
el argumento de G es
jωT

− jωT

2
2 e jωT − 1 2 e 2 − e
2j
 ωT 
=
=
tan 

jωT
jωT
− jωT
T e +1 T e 2 + e
T
2
 2 

[1.12]

la escala de frecuencias no es lineal.
Por ejemplo si el sistema continuo no deja pasar una determinada frecuencia ω ′ , la
frecuencia bloqueada en el discreto será

ω′ =

2
 ωT 
tan 

T 2 

[1.13]

o sea
 (ω ′T ) 2 
2
− 1  ω ′T 
ω = tan 

 ≈ ω ′ 1 −
T
12 
 2 


[1.14]

No hay distorsión para ω = 0 y la distorsión es baja para bajas frecuencias.
Para eliminar esta distorsión, a una determinada frecuencia ω1 se puede introducir
una nueva transformación:

s′ =
tan

ω1
ω1T

(

2

)

z −1
z +1

[1.15]

ahora se cumple

H ( e jω1T ) = G ( jω1 )

[1.16]

para esafrecuencia son iguales, pero hay distorsión para otras frecuencias.
Ejemplo 1.1. Integrador

G (s ) =

1
s

[1.17]

su versión digital según Tustin

Control Digital 08.doc 4

HT ( z ) =

1
T z +1
=
2 z −1 2 z −1
T z +1

[1.18]

la versión modificada para ω1
HM ( z) =

tan

(ω T 2 ) z +1
1

ω1

[1.19]

z −1

en función de la frecuencia

H M ( e jωT ) =

(

tan ω1T
ω1

)

2 e jωT + 1
=
e jωT − 1

(

tanω1T

2

ω1

)

1
j tan ωT

(

2

)

[1.20]

para ω = ω1 continua y discreta, coinciden.
1.1.3. Respuestas Equivalentes
Se puede calcular una función de transferencia discreta para que tengan igual
respuesta al escalón o a una rampa.
Ejemplo 1.2. Comparación de Aproximaciones
G ( s) =

( s + 1)

(s + 5)

2

(s

2

2

(s

2

+ 2s + 400 )

+ 2s + 100 )( s 2 + 3s + 2500 )

[1.21]

se muestrea con T...