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Unidad 3: Métodos de Integración
Tema 3. Método de integración por partes
Introducción
En este Tema discutiremos y aplicaremos una estrategia para calcular integrales que funciona en algunos casos en que el integrando es un producto de funciones, la idea consiste en aplicar una fórmula en donde una integral de interés está en términos de una integral alternativa que puede ser más simple decalcular; como se verá, este procedimiento está bastante relacionado con la regla para derivar un producto de funciones.
uvut,v(t)CSituación
Problema 10
SP-10

Una partícula se desplaza trazando una trayectoria C en el primer cuadrante de un plano cartesiano, su posición en el tiempo t está dada por las coordenadas u(t) y v(t). Consideremos al rectángulo de la figura asociadoa la posición de la partícula, el área A de este rectángulo es función del tiempo, esto es, A=A(t).
uvut,v(t)Cut+dt,v(t+dt)dudva) Determina una fórmula para el diferencial de área dA, es decir, el cambio que sufre el área A del rectángulo en un lapso infinitesimal dt a partir de un tiempo arbitrario t.
uvut1,v(t1)ut2,v(t2)b) Si sumamos los diferenciales de área dA correspondientes a los tiemposentre t=t1 y t=t2, lo que obtenemos es el área sombreada de la figura. Obtén una fórmula de integración expresando dicha área de dos maneras distintas (suma de diferenciales de área y resta de áreas de rectángulos)
Consideraciones

Consideraciones
1. El método de integración por partes
Alrededor de la
SP-10
De acuerdo a la conclusión de la SP-10 tenemos que:t=t1t=t2utv´t+vtu´(t)dt=ut2vt2-ut1vt1=utv(t)t=t1t=t2O bien
t=t1t=t2utv´tdt+t=t1t=t2vtu´tdt=utv(t)t=t1t=t2Y despejando la primera integral de lado izquierdo resulta que:
t=t1t=t2utv´tdt=utv(t)t=t1t=t2-t=t1t=t2vtu´tdtA esta última ecuación es a la que se le llama fórmula de integración por partes, en ella las funciones ut y v(t) pueden ser cualesquier funciones con tal que las integrales puedan calcularse.
La fórmulase usa para integrar un producto de funciones, es decir, para calcular una integral del tipo t=t1t=t2ftgtdt, para tal efecto se identifica a uno de los factores del integrando, por ejemplo f(t), con la función u(t) de la fórmula y al otro factor, gt, con v´(t); en seguida se obtienen u´(t) derivando a f(t) y v(t) antiderivando a g(t) y se aplica la fórmula de integración por partes haciendo lassustituciones indicadas en el siguiente diagrama.

t=t1t=t2utv´tdt=utv(t)t=t1t=t2-t=t1t=t2vtu´tdt




f(t)g(t)f´(t)gtdtf(t)gtdt
Al aplicar la fórmula se busca que la integral alternativa que resulta en el lado derecho de la ecuación sea más simple de calcular que la integral original en el lado izquierdo; de no ser el caso, se podría intentar de nuevo el procedimiento pero identificando ahoraal factor ft con v´t y al factor gt con ut.2. La relación con la regla para derivar un producto
En la discusión de la SP-10 puede apreciarse como interviene la regla para derivar el producto At=utv(t). Podría pensarse que la fórmula de integración por partes es en el ¨lenguaje de las integrales¨, la equivalente a la regla para derivar un producto en el ¨lenguaje de las derivadas¨, de la mismamanera que la fórmula de integración u+vdt=udt+vdt es equivalente a la fórmula de derivación d(u+v)dt=dudt+dvdt .
3. La fórmula con límites de integración y sin límites de integración
La fórmula de integración por partes se puede aplicar con límites o sin límites de integración, en este último caso, lo que puede obtenerse con la fórmula es la antiderivada general de un producto de funciones.utv´tdt=utvt-vtu´tdtO bien
ftgtdt=ftgtdt-gtdtf´tdt4. La fórmula clásica del método
En la práctica es común aplicar la fórmula de integración por partes sin hacer referencia a la variable de integración t o cualquier otra letra que se designe para representarla, esto es, en la fórmula que hemos presentado:utv´tdt=utvt-vtu´tdt,
simplemente ponemos u en lugar de u(t), v en lugar de v(t), y...