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1. SOLUCION
En el punto en que la curva corta al plano se tendrá que la componente de en dirección y debe ser nula. Es decir
, osea
De donde ; ;
También tenemos que:


Se puede notar que:


Es decir en todos los puntos en los cuales la curva C corte al plano XZ los vectores serán los mismos. Los planos osculadores serán paralelos.
Hallaremos y el plano osculador enel punto. Entonces:


Así:

También:


Como:

También:


En el punto la ecuación del plano osculador está dado por:

Donde es un punto cualquiera del plano.

Entonces:


1 SOLUCION
Como el plano osculador es paralelo al plano entonces. Tendrá por vector normal al vector al vector . Es decir el vector binormal será paralelo al vector . Por lo tanto el vector no debe tenercomponentes en la dirección y respectivamente. Tenemos que:



Como vemos que las componentes y se anulan cuando
Así la ecuación del plano osculador en es:

De donde:







2 SOLUCION
Si , entonces
Es cuando , osea
Si hacemos , entonces una ecuación vectorial que define a la curva seria:

En el punto pedido
Las coordenadas del centro dela circunferencia de curvatura estándeterminadas por:
Donde es el centro de la circunferencia, es el radio de la curvatura y es el vector normal en el punto .
Tenemos que:


Así:
Como:

El radio de curvatura es:

También:

Como:

De donde:
Si es el centro dela circunferencia de curvatura en el punto entonces:
Donde
Así:




3 SOLUCION
a) Si es el centro de la circunferencia de curvatura, entonces

De:



Así:=
Entonces el radio de la curvatura es:
=
También:

Entonces:

Reemplazando y
En (1):

Así el centro de la circunferencia de curvatura está en el punto

b) La circunferencia de curvatura se encuentra sobre el plano osculador, de tal manera que diremos que un punto está en dicha circunferencia si es un punto del plano osculador y además su distancia al centro del circulo decurvatura debe ser igual al radio de curvatura o sea:

Un vector normal al plano osculador en es el vector paralelo al vector .
Como
Entonces
La ecuación del plano osculador es entonces:

O sea:
Así el punto no pertenece al plano osculador ya que su ordenada .
Los puntos y pertenecen al plano osculador y podrán estar en el círculo de curvatura. Como:


Entonces: está en elcírculo de curvatura.


O sea:
Así, el punto no está en el círculo de curvatura.








4 SOLUCION
a) La función vectorial se puede escribir:


Entonces:





La torsión está dado por:

Es decir en todo punto de la curva:

b) Si , entonces
De (1):
Luego el vector normal al plano osculador en es:
Así la ecuación del planoosculador en es:

Ósea:
c) La torsión mide la rapidez con que un punto sobre una curva se aleja del plano osculador.
Como en todo punto , quiere decir que la curva es plana y la ecuación del plano osculador es la misma en todos los puntos.



5 SOLUCION
En el punto de intersección las coordenadas del punto satisfacen la ecuación del plano. Es decir:

De donde:

Observando que el dominio de lafunción es , entonces en el punto de intersección,
Si consideramos que que contiene a , entonces , asi la función se puede escribir:
) Y



;
También:

=
Así:


=
Como la torsión está dado por:

Así:

6 SOLUCION
Obtenemos:

En el punto pedido , osea:
Entonces:



De (3): Reemplazando en :
Si se reemplaza y en la ecuación (2):
Si cumpleLuego en el punto pedido
El plano que contiene a la circunferencia de curvatura en un punto es el plano osculador, entonces determinaremos el plano osculador en el punto
De:
; ;
;
Así:


O sea:
Como el vector , entonces el vector es una normal al plano osculador pedido.
La ecuación del plano osculador es entonces:


De donde:

También en el punto , reemplazando en la...