1810

5.1 Recta tangente y recta normal a una curva en un punto.
Una recta tangente a una curva en un punto, es una recta que al pasar por dicho punto y que en dicho punto tiene la misma pendiente de la curva. La recta tangente es un caso particular de espacio tangente a una variedad diferenciable de dimensión 1, 
La tangente es la posición límite de la recta secante () (el segmento  se llamacuerda de la curva), cuando  es un punto de  que se aproxima indefinidamente al punto  ( se desplaza sucesivamente por 
Si  representa una función f (no es el caso en el gráfico precedente), entonces la recta  tendrá como coeficiente director (o pendiente):

Donde  son las coordenadas del punto  y  las del punto . Por lo tanto, la pendiente de la tangente TA será:

La pendiente de la recta normal auna curva en un punto es la opuesta de la inversa de la pendiente de la recta tangente, por ser rectas perpendiculares entre sí.

La pendiente de la recta normal es la opuesta de la inversa de la derivada de la función en dicho punto.

Ecuación de la recta normal
La recta normal a a una curva en un punto a es aquella que pasa por el punto (a, f(a)) y cuya pendiente es igual a la inversa dela opuesta de f '(a).

Ejemplos
Calcular la ecuación de la tangente y de la normal a la curva f(x) = ln tg 2x en el punto de abscisa: x = π/8.

5.2 teorema de rolle teorema de lagrange
-------------------------------------------------
Si una función es continua en un intervalo cerrado [a,b], derivable en el intervalo abierto (a,b) y f(a)=f(b), entonces existe al menos un punto c entre a yb para el cual f'(c)=0. 

H) f es continua en [a,b]
    f es derivable en (a,b)
    f(a)=f(b)
T) Existe c perteneciente a (a,b) / f'(c)=0
Interpretado geométricamente, significa que si una curva alcanza el mismo valor en dos puntos, entonces debe poseer una tangente horizontal en algún punto intermedio.

Demostración:
f es continua en [a,b] => por teo. de Weierstrass f tiene máximoabsoluto M y mínimo absoluto m en [a,b].
Para todo x perteneciente a [a,b] m <= f(x) <= M.
Existe x1 perteneciente a [a,b] / f(x1)=M.
Existe x2 perteneciente a [a,b] / f(x2)=m.
Si m = M => para todo x perteneciente a [a,b] f(x) = M => f'(x) = 0
Sino, m < M => por lo menos uno de los puntos, x1 o x2, corresponde al interior del intervalo, a (a,b), por ejemplo x2.
=> (a,b)se comporta como un entorno de x2.
Se cumple que para todo x perteneciente a (a,b) f(x2) <= f(x)
=> Por def. de mínimo relativo f presenta un mínimo relativo en x2. (1)
f es derivable por hipótesis. (2)
De 1) y 2), por Condición necesaria para la existencia de extremos relativosf'(x2)=0

seph Louis Lagrange (1736 - 1813)Si f(x) es continua en el intervalo cerrado [a,b] y derivable entodo punto del intervalo abierto (a,b), entonces existe al menos un punto c donde f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a).

H) f(x) es continua en [a,b]
    f(x) es derivable en (a,b)
T) Existe c perteneciente a (a,b) / f'(c)=(f(b) - f(a))/(b - a)

Geométricamente, (f(b) - f(a))/(b - a) es la tangente del ángulo que forma la secante que pasa por los puntos A(a,f(a)) y B(b,f(b)) de la curva, con eleje ox.
f'(c) es la tangente del ángulo que forma la recta tangente a la curva en el punto c, con el eje ox.
Entonces, el teorema expresa que existe al menos un punto en el intervalo (a,b) donde la tangente a la curva es paralela a la recta que pasa por A y B.
Demostración:
Definamos una función auxiliar g(x) = f(x) + hx, h perteneciente a R.
g es continua en [a,b] por ser suma de funcionescontinuas.
g es derivable en (a,b) por ser suma de funciones derivables.
Queremos que g(a) sea igual a g(b) para aplicar el teorema de Rolle
=> f(a) + ha = f(b) + hb => f(a) - f(b) = hb - ha = h(b - a)
f(a) - f(b)
=> h = -----------
b - a
=> por teo. de Rolle, existe c perteneciente a (a,b) / g'(c) = 0...