2.5 Deflexion en vigas

2.5 Deflexión en vigas

- Ecuación diferencial de la elástica
Para comenzar este tema se debe recordar la ecuación deducid en, en la cual se relaciona la curvatura de la superficie neutra con el momento flector en una viga sometida a flexión pura: Donde ‘r’ es el radio de curvatura, ‘E’ el módulo de elasticidad del material del que se compone la viga, ‘I’ el momento de inercia de la seccióntransversal de la viga y ‘M(x)’ el momento flector al que está sometida la misma. Observemos que este último término se ha designado como dependiente de la longitud medida desde un extremo de la viga (‘x’).




Para deducir la ecuación de la elástica es necesario recordar del
Calculo elemental, que el radio de curvatura de una curva plana en un punto
‘P(x, y)’puede determinarse mediante la expresión.



Donde, dada la relación ‘y = f(x)’:

Corresponde a la primera derivada de la función
Corresponde a la segunda derivada de la función.






Como las deflexiones son muy pequeñas, podemos despreciar el termino relativo a la primera derivada; obtenemos entonces que: Esta es una ecuacióndiferencial ordinaria, lineal, de segundo orden, y gobierna el comportamiento de la curva elástica, la cual describe las deflexiones que experimenta una viga cuando es sometida a cargas transversales.

Método de Doble Integración

Es el más general para determinar deflexiones. Se puede usar para resolver casi cualquier combinación de cargas y condiciones de apoyo en vigas estáticamentedeterminadas e indeterminadas. Su uso requiere la capacidad de escribir las ecuaciones de los diagramas de fuerza cortante y momento flector y obtener posteriormente las ecuaciones de la pendiente y deflexión de una viga por medio del cálculo integral.
El método de doble integración produce ecuaciones para la pendiente la deflexión en toda la viga y permite la determinación directa del punto de máximadeflexión.

Recordando la ecuación diferencial de la elástica:



El producto ‘E·I’ se conoce como la rigidez a flexión y en caso de que varié a lo largo de la viga, como es el caso de una viga de sección transversal variable, debe expresarse en función de ‘x’ antes de integrar la ecuación diferencial. Sin embargo, para una viga prismática, que es el casoconsiderado, la rigidez a la flexión es constante.

Podemos entonces multiplicar ambos miembros de la ecuación por el módulo de rigidez e integrar respecto a ‘x’. Planteamos:


Donde ‘C1’ es una constante de integración que depende de las condiciones de frontera, como se explicara más adelante.
Como la variación de las deflexiones es muy pequeña, es satisfactoria laaproximación:



De modo que con la expresión anterior se puede determinar la inclinación de la recta tangente a la curva de la elástica para cualquier longitud ‘x’ de la viga.



Integrando nuevamente en ambos lados de la expresión anterior, tenemos:



Mediante esta expresión podemos conseguir la deflexión para cualquier distancia‘x’ medida desde un extremo de la viga.
El término ‘C2’ es una constante de integración que, al igual que
‘C1’, depende de las condiciones de frontera. Para poder establecer sus valores, deben conocerse la deflexión y/o el Angulo de deflexión en algún(os) punto(s) de la viga. Generalmente, es en los apoyos donde podemos recoger esta información.










En el caso de vigassimplemente apoyadas y vigas empotradas en un extremo, por ejemplo, tenemos las siguientes condiciones:




























2.5.1 Método de las funciones singulares

El procedimiento de la doble integración para deflexiones en vigas discutido en la sección
Anterior tiene la ventaja de capacitarnos para escribir ecuaciones para la pendiente y la deflexión de...