2BAMACCSS2_SO_ESB01_HU1

Solucionario

Hacia la universidad

Aritmética y álgebra

OPCIÓN A
1.

−1 
0 

− 1

1 2
Dadas las matrices A =  2 1

0 1

1
B=0

1

−2
−3
3

4 
5 

−2

1 1
C=1 0

2 1

0 
−1

−2

t
2 t
a) Calcula las matrices ABA y A B .

b) Calcula la matriz inversa de C.
2 t
c) Resuelve la ecuación matricial CX + A B = B −A.

 1 2
a) At =  2 1

 −1 0

 −38
ABAt =  −25

 −20

0
1 

−1 

b) C = 1 ≠ 0  ∃C −1,C −1 =

−11 −27
−3 −20
−8 −13

1
1
( Adj(C ))t =  0
C
1






5
A2 =  4

2

2
−2
1

[

3
5
0

− 1
1

− 1

2.

2
−2
1

− 1
1

− 1

 1
 0

 1

−2
−3
3

4
5

−2 

−

−1
0

−1

−

14 
23 

0 

 −1
 −14

 6

−9 14    30
−25 23   =  − 29
 
5
0    18

50
− 45
29

− 44 
35 

− 26 

2 X − 3Y = A
Resuelve elsistema de ecuaciones 
en el que las incógnitas X e Y son matrices,
3 X + 4Y = B
5
y las matrices A y B son A = 
6

−9
−8

2 X − 3Y = A  X = 4 A + 3B =  1 0
3 5
3 X + 4Y = B


17

3.

1 2
2 1

0 1

−9
− 25
5

]

c) CX + A2Bt =B – A, CX = B − A − A2B t  X = C −1 B − A − A2 ⋅ B t
1
X = 0

1

 −1
A2B t =  − 14

 6

0 
−2

1 

a1
Demuestra la igualdad x
1
a1 + x a 2 + ya3 + z

x −1

y −2

z−3

1

2

3

a1 a2 a3

 x
1

a2
y
2

=

F2 =F2 + F3

a1 + x a2 + y

y

z − x −1

2

3

1

y −2
2

−1 
 −1 12
y B =
3 
 9 39
1
0 

Y =

7 
.
−4 

2B − 3 A  −1 3
=
 0 6
17

a3
a1 + x
z − x −1
3
1

a2 + y
y −2
2

a1 + x a 2 + y

a3 + z

x

y

z

1

2

3

a3 + z
z−3 = 0.
3
a1 a 2
=

F1 =F1 −F2

a3

x

y

z 

1

2

3

a3 + z
z−3 =0
3

120

1 
− 1 Solucionario

4.

(a + 2) x + (a − 1)y − z = 3

Dado el sistema ax − y + z = 3
 x + ay − z = 1


a) Estudia su compatibilidad según los valores del parámetro a.
b) Resuélvelo para el caso a = –1.

a)

a+2
a
1

a − 1 −1
−1
1 =(a + 2)+(a –1) – a2 – 1– a(a + 2)+ a(a – 1) = a + 2 + a – 1 – a2 – 1– a2 – 2a + a2 –a = 0 
−1
a

 –a2 – a = 0  a2 + a = 0  a = 0 y a = –1
2
Si a = 0  0
1

−1 −1
−1 1 = 0
0 −11 −2
Si a = –1 − 1 − 1
1 −1

2
0
1

−1
1 =0
−1

−1 3
− 1 3 = –2  rg(A) = 2 ≠ 3 = rg (A*)  SI
0 1

1 −2 3
− 1 − 1 3 = 0  rg(A) = 2 = 3= rg(A*)  SCI
1 −1 1

 x − 2y − z = 3
b) − x − y + z = 3
 x − y − z = 1

 1 −2 −1 3 
 −1 −1 1 3 


 1 −1 −1 1

→

F2 = F2 + F1
F3 = F3 − F1

 1 −2 −1 3 
 0 −3 0
6


1 0 −2 
0

→

F3 = 3F3 + F2

 1 −2
 0 −3

0
0

−1 3 
0 6 

0 0

 x − 2 − λ = 3  x + 4 − λ = 3  x = −1 + λ

 −3 y = 6  y = −2
z = λ

Hay infinitas soluciones (–1+ λ , –2, λ ).

5.

 x + y + az = 1

Dado el sistema  x + 2 y = b
 x + ay + z = 0


a) Halla los valores de a y b para que el sistema sea incompatible.
b) ¿Existe algún valor de a y b que haga el sistema compatible indeterminado?
c) Resuelve, por el método de Gauss, el sistema para a = 2 yb = 0.
1 1 a 
a) Las matrices de los coeficientes y ampliada son: A = 1 2 0 


1 a 1 

1 1 a
A* = 1 2 0

1 a 1

1
b

0

Como A = a 2 − 2a + 1 = (a − 1)2 , se verifica que para todos los valores de a distintos de 1 rg(A) = rg(A* ) = 3.

Por tanto, para a ≠ 1 el sistema es compatible determinado.
1 1
Para a = 1 y cualquier valor de b, el sistema es incompatible ya que 1 2
1 1

1
b =1 + b − 2 − b = −1 ≠ 0 
0

 rg( A*)= 3

b) No existe ninguna posibilidad de que el sistema sea compatible indeterminado.
1
1 1 2 1 
1 1 2
1 1
c) 1 2 0 0  →  0 1 − 2 − 1 →  0 1

 F2 = F2 − F1 
 F3 = F3 − F2 
1 2 1 0  F3 = F3 − F1  0 1 − 1 − 1
0 0

Solucionario

2
1
− 2 − 1  Solución única (2, −1, 0)

1 0

121

Solucionario
6.

En una pizzería se utilizan tresingredientes A, B y C para la elaboración de los tres tipos de pizzas P1,
P2 y P3 que ofrecen. Una unidad de P1 requiere una unidad de A, dos de B y una de C, y se vende a 7
euros; una unidad de P2 requiere una unidad de A, dos de B y dos de C, y se vende a 8,75 euros, y una
unidad de P3 requiere una unidad de A, tres de B y dos de C, y se vende a 10,25 euros. El coste de cada
pizza es el resultado...