2BAMACCSS2_SO_ESB02_HU2

Solucionario

Hacia la universidad

Análisis matemático

OPCIÓN A
1.

x3
− 8 , g ( x ) = x 3 , h( x ) = x 2 − e x .
4
 f ( x ) si 0 ≤ x ≤ 4
es continua en x = 4.
b) Indica si la función m ( x ) = 
 g ( x ) si 4 < x

a) Deriva las funciones f ( x ) =

c) Escribe la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función m(x) en x = 9.
a) f ′( x ) =

3x 2
;
4

g ′( x ) =

3
2

h′( x ) = 2 x − ex

x ;

 x3
− 8 si 0 ≤ x ≤ 4
 x3


b) m( x ) =  4
Como lim m( x ) = lim 
− 8  = 16 − 8 = 8 , lim m( x ) = lim x 3 = 43 = 8
−
−
4
x →4
x →4 
x → 4+
x → 4+
 3

si 4 < x
 x
y m(4) = f (4) = 8 , tenemos que m(4) = lim m( x ) = lim m( x ) , por tanto la función m(x) es continua en x = 4.
x → 4−

x → 4+

c) La ecuación de la recta tangente a la gráfica en x = 9 es: y – 27 =
2.

9
(x – 9)2

Se sabe que la función de beneficios de una empresa es de la forma B( x ) = ax + b x , siendo x el
número de unidades producidas y a, b parámetros reales.

a) Calcula, si existen, los valores de los parámetros a y b para que la producción de x = 100
proporcione un beneficio de 50 unidades monetarias y que además sea el máximo que se puede
obtener.
b) Para a = –1 y b = 16, calcula las cantidadesque se han de producir para que el beneficio aumente o
disminuya (intervalos de crecimiento y decrecimiento) y los puntos de inflexión de B(x), si existen.

a) Por una parte sabemos que B(100) = 50 y como, además, hay un máximo en x = 100, debe cumplirse que
B´(100)=0.

B(100) = 50  a ⋅ 100 + b 100 = 50  100a + 10b = 50  10a + b = 5
b
La derivada de la función beneficio es B′( x ) = a +
. Porel contexto del problema, x > 0.
2 x
b
b
B′(100) = 0  a +
=0a+
= 0  20a + b = 0
20
2 100
10a + b = 5
1
obtenemos que a = −
Resolviendo el sistema 
y b = 10.
20
a
b
0
+
=
2


b) La función beneficio es B( x ) = − x + 16 x . Estudiemos su monotonía:

La derivada es B′( x ) = −1 +

16
2 x

= −1 +

8

=

x

− x +8
− x +8
= 0  − x + 8 = 0  x = 64
, x > 0, B′( x ) =
x
x

x

(0, 64)

64

Signo def ´
Comportamiento de
f

+

=0
Máximo
relativo

Creciente

( 64, + ∞ )
–
Decreciente

Por tanto: si se producen menos de 64 unidades, el beneficio aumenta. Y si se producen más de 64
unidades, el beneficio disminuye. El máximo beneficio se obtiene con una producción de 64 unidades. Para
hallar los posibles puntos de inflexión debemos calcular la segunda derivada.
4
 B′′( x ) = −
, que no se anulanunca y por tanto concluimos que la función B(x) no
x
x x
tiene puntos de inflexión. De hecho, la función es cóncava hacia abajo en todo su dominio por que su
derivada segunda es siempre negativa.
B′( x ) = −1 +

8

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Solucionario

3.

30 p + 200
La oferta de un bien, conocido su precio, p, es: S ( p) =  2
 p − 60 p + 1000

si

0 ≤ p ≤ 10

si 10 < p ≤ 40

Represéntala y a la vista de sugráfica, indica para qué valor del precio se alcanza la máxima y la
mínima oferta y para cuáles la oferta es menor que 200 unidades.
S (p)
Como la función en [0, 10] es una recta, para representarla nos basta hallar su valor en
los extremos de intervalo. La recta pasa por A(0, 200) y B(10, 500). En (10, 40] es una
parábola cuyo vértice es V(30, 100). Calculamos el valor de la parábola en losextremos
del intervalo: C(10, 500) y D(40, 200).
Para representarla, elegimos escalas distintas en los ejes.

100

O 10
P
A la vista de la gráfica, se alcanza la máxima oferta en A(10,500) , esto es, si el precio
es de 10 euros y alcanza su mínima oferta cuando es de 30 euros. Vemos que la función es menor de 200 en
el intervalo (20, 40) (para calcular dichos valores resolvemos p 2 − 60 p + 1000 = 200). Así pues, la oferta es
menor que 200 unidades si los precios están entre 20 y 40 euros.

4.

a) De una función f se sabe que la gráfica de su función derivada, f´, es la recta de ecuación
y = −2 x + 4 . Estudie razonadamente la monotonía de la función f, a la vista de la gráfica de la
derivada.
4x − 4
b) Dada la función g ( x ) =
, calcule la ecuación de la recta tangente a su gráfica en el...