3 Algebra Vectorial

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Facultad de Ingeniería

3. ÁLGEBRA VECTORIAL

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Objetivo:

El alumno aplicará el álgebra vectorial en la resolución de problemas
geométricos.

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Contenido:
3.1

Sistema cartesiano en tres dimensiones. Simetría de puntos.

3.2 Cantidades escalares y cantidades vectoriales. Definición de segmento dirigido.
Componentesescalares de un segmento dirigido en la dirección de los ejes coordenados.
El vector como terna ordenada de números reales. Definición de módulo de un vector e
interpretación geométrica. Vector de posición de un punto. Vector nulo. Vector unitario.
Vectores unitarios i, j, k. Vectores representados por una combinación lineal de los
vectores i, j, k.
3.3 Definición de igualdad de vectores. Operacionescon vectores: adición, sustracción y
multiplicación por un escalar. Propiedades de las operaciones.
3.4 Producto escalar de dos vectores y propiedades. Condición de perpendicularidad entre
vectores. Componente escalar y componente vectorial de un vector en la dirección de otro.
Ángulo entre dos vectores. Ángulos, cosenos y números directores de un vector.
3.5 Producto vectorial: definición,interpretación geométrica y propiedades. Condición de
paralelismo entre vectores. Aplicación del producto vectorial al cálculo del área de un
paralelogramo.
3.6 Producto mixto e interpretación geométrica.

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Sistema cartesiano de tres dimensiones
Eje de Ordenadas

Y

Eje de Abcisas

Origen

X
Eje de cotas

Z

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Sistema cartesiano detres dimensiones
Z

Y

X

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Sistema cartesiano de tres dimensiones
III

II

Z

IV

I

Y

VII
X

VIII

VI
V

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Sistema cartesiano de tres dimensiones
Z
P (x, y, z)
z

y
x

P’

Y

X

Existe Correspondencia Biunívoca

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Simetrías en el Sistema Cartesiano 3D
Z
P (x, y, z)
z

y
x

P’

Y
Espejo

-zX

PXY (x, y, -z)

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Simetrías en el Sistema Cartesiano 3D
Z
P (x, y, z)
P (x, y, z)

PXY (x, y, -z)
z

PXZ (x, -y, z)
PYZ (-x, y, z)

y
x

P’

Y
Espejo

-z

PX (x, -y, -z)
PY (-x, y, -z)

X

PZ (-x, -y, z)
PO (-x, -y, -z)
PXY (x, y, -z)

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Ejercicios

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Cantidades Escalares y Vectoriales
Unescalar es aquella entidad matemática que solo posee magnitud. Un
escalar, se puede emplear para indicar algunas características físicas como la
masa, la longitud, el volumen, la temperatura, el tiempo, etc.
Un vector es aquella entidad matemática que posee magnitud, dirección y
sentido, y se puede representar geométricamente con un segmento dirigido.
Un vector se puede emplear para indicar algunascaracterísticas físicas como
la velocidad, la fuerza, la aceleración, etc.

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Segmento Dirigido
Un segmento dirigido es la porción de una recta comprendida entre dos puntos,
a uno de los cuales se le llama punto inicial y al otro punto final.

B

A

AB

BA

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Componentes Escalares de un Segmento Dirigido
Las componentesescalares de un segmento dirigido en la dirección de los ejes
coordenados se obtienen restando a las coordenadas del punto final, las
correspondientes coordenadas del punto inicial.
Z

c
A

B

b
a

Y

X
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Vector como Terna Ordenada de Números Reales
Un vector se puede expresar como una terna ordenada de números reales que
corresponden a las componentes escalares delsegmento dirigido que
representa a dicho vector.
Z
AB = (a, b, c)
c
A

B

b
a

Y

X
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Vector de Posición de un Punto
Un vector de posición es aquel que tiene como punto inicial, el origen de
coordenadas y como punto final un punto cualquiera del sistema; tal que, las
coordenadas del punto serán las componentes escalares del vector.
Z
P (x, y, z)
z
p = (x, y, z)
y...