6 Func Racionales

CALCULO
INTEGRAL

Dr. Rolando Vásquez Jaico

Integración de funciones racionales
Pm ( x) am x m    a1 x  a0
Una función racional f(x) es de la forma f(x) 

Qn ( x) bn x n    b1 x  b0

P( x)
,
Q( x)
el grado del numerador es mayor que el grado del denominador, se
debe separar previamente la parte entera, por división de polinomios :

1) Si m n, es decir la Función Racional Impropia. f( x) 

f ( x) 

Pm ( x)
R ( x)
M m  n ( x )  r
, r n
Qn ( x)
Qn ( x)

Rr ( x)
es propia, r  n.
Qn ( x)





3

Pm ( x)
x 2 1
Ejemplo :
 3
Qn ( x) x  2 x 2  x
Pm ( x)
R ( x)
M m  n ( x )  r
,r  n
Qn ( x)
Qn ( x)
17 x 2  10 x  1
( x  2 x  6 x  10)  3
x  2x2  x
3

2

Integración de Funciones Racionales
Propias
Pm ( x) am x m    a1 x  a0
2) m  n, fracción racionalpropia,

,
n
Qn ( x) bn x    b1 x  b0
se efectúa mediante el desarrollo de la función racional en una suma
de fracciones simples de los siguientes tipos, seguido de una integración ulterior.
Factor presente en el denominador

Fracción parcial

Lineal distinto :
1
ax  b

A
ax  b
Siendo A una constante que debe determinar se.

Lineal repetitivo :
1
( ax  b) n

An
A1
A2




ax  b ( ax  b)2
( ax  b) n
A1 , , An , son constantes a determinar se.

Cuadrático diferente :
1
2
ax  bx  c

Ax  B
ax  bx  c
A y B son constantes que deben determinar se.

Cuadrático repetitivo :
1
2
(ax  bx  c) n

An x  Bn
A1 x  B1
 
2
ax  bx  c
( ax 2  bx  c) n
A1 , , An y B1 , , Bm , constantes a determinar se.

2

x3  2
Ejemplo 1 : Calcúlese 
dx
x 1
Dividiendo :
x3  2
3
( x 2  x 1) 
x 1
x 1

Luego,
x3  2
3 
 2
 x  1 dx  ( x  x  1)  x  1 dx
3
 ( x 2  x  1)dx  
dx
x 1
1
1
 x 3  x 2  x  3 ln x  1  C
3
2

PROCEDIMIE NTO :
x5  x4  8
Ejemplo 2 : Calcúlese  3
dx
x  4x
SOLUCIÓN :
1) Transforma r en parte entera y Fracción parcial propia
x5  x4  8
4 x 2  16 x  8
2
( x  x  4) 
3
x  4x
x 3  4x
2) Descompone r el denominado r en factoresirreducibl es
x 3  4 x  x( x 2  4)  x ( x  2)( x  2)
3) Descomposi ción en fracciones :
Las raices del polinomio del denominado r son todas reales y distintas entre si.
4 x 2  16 x  8
A
B
C
 

x( x  2)( x  2) x x  2 x  2

3) Igualdad de polinomios :
4 x 2  16 x  8  A( x  2)( x  2)  Bx ( x  2)  Cx( x  2)
4 x 2  16 x  8 ( A  B  C ) x 2  (2 B  2C ) x  4 A
 A  B  C4

  (2 B  2C ) 16
 4 A 8

4) Resolviend o el sistema :
A 2, B  3, C 5

5) Remplazand o los resultados :
x5  x4  8
x5  x4  8
4 x 2  16 x  8
2
 x 3  4 x dx  x 3  4 x dx ( x  x  4)dx   x 3  4 x dx
B
C 
A
 ( x 2  x  4)dx   

dx
 x x 2 x  2
1
1
1
 ( x 2  x  4)dx  2  dx  3
dx  5
dx
x
x2
x 2
6) Integrando :
x3 x2
x 2 ( x  2) 5
 
 4 x  ln3
2
( x  2) 2

x 2  4x  4
Ejemplo 3 : Calcúlese 
dx
2
x( x  1)

Obser var :

Solución : La fracción es propia,
x 2  4x  4 A
B
C



x x  1 ( x  1) 2
x ( x  1) 2
Sumando
x 2  4 x  4  A( x  1) 2  Bx ( x  1)  Cx
x 2  4 x  4  Ax 2  2 Ax  A  Bx 2  Bx  Cx
x 2  4 x  4 ( A  B ) x 2  ( 2 A  B  C ) x  A
Igualdad de polinomios
 ( A  B ) 1

  (2 A  B  C ) 4
 A 4
Resolviend o el sistema
A 4, B  3, C 9

A
x 2  4x  4
B
C

dx



 x( x  1) 2
 x x  1 ( x  1) 2


dx


Luego,
A
x 2  4x  4
B
C

dx



 x( x  1) 2
 x x  1 ( x  1) 2


dx


4
x 2  4x  4
3
9

dx



 x( x  1) 2
 x x  1 ( x  1) 2


dx


1
1
2
4  dx  3
dx  9  x  1 dx
x
x 1
9
4 ln x  3 ln x  1 
C
x 1

x3  2x
Ejemplo 4 :  4
dx
x 81
 A
x3  2x
x3  2x
B
Cx  D 

dx

dx



x 4  81 ( x  3)( x  3)( x 2  9)  x  3 x  3 ( x 2  9) dx

x3  2x
A
B
Cx  D



x 4  81 x  3 x  3 ( x 2  9)

x 3  2 x  A( x  3)( x 2  9)  B ( x  3)( x 2  9)  (Cx  D )( x  3)( x  3)
x 3  2 x ( A  B  C ) x 3  (3 A  3B  D ) x 2  (9 A  9 B  9C ) x  (27 A  27 B  9 D )
 A  B  C 1
 3 A  3 B  D 0
...