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UNIDAD IV APLICACIÓN E INTERPRETACIÓN DE LA DERIVADA.

OBJETIVO TERMINAL

Relacionar la derivada con el concepto de cambio y desarrollar diferentes aplicaciones donde la herramienta fundamental es la derivada. Aplicaciones tales como: La pendiente de la recta tangente a una curva, costo e ingreso marginal, velocidad y aceleración instantánea, máximos y mínimos relativos, puntos de inflexión.OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Asociar la razón de cambio instantánea de un modelo matemático con los conceptos de velocidad y aceleración, e interpretar la derivada como una razón de cambio.
Desarrollar la idea de línea tangente a una curva y su relación con la derivada de dicha curva.
Esbozar la gráfica de una función usando la información obtenida de la primera y segunda derivada.
Encontrar valoresóptimos partiendo de un problema para modelos matemáticos mediante la información obtenida en la primera y segunda derivada.
Asociar la razón de cambio instantánea de una función al concepto de velocidad e interpretar la derivada como una razón de cambio instantáneo.
Desarrollar el concepto marginal y su relación con la derivada.
Esbozar la gráfica de una función utilizando la técnica de la primera y dela segunda derivada.
Modelar situaciones que impliquen maximizar o minimizar una función, para encontrar referentes que faciliten la toma de decisiones.
PRUEBA INICIAL

1. Si la función de costo para la producción de q unidades de cierto producto es , entonces su derivada , se llama y se interpreta como, explique.
2. Explique la diferencia entre el costo de producir una unidad adicional y elcosto de producir una unidad.
3. Defina que es punto crítico y un punto de inflexión.
4. Explique la diferencia (si la hay) entre un máximo relativo y un máximo absoluto.
5. Explique que es una función objetivo cuando se habla de optimización.
6. en cálculo la palabra cambio ó razón de cambio se relacionaron. Explique.
TEMAS

INTERPRETACIÓN Y APLICACIONES DE LA DERIVADA.

1. APLICACIONES EN GEOMETRÍA:La derivada como la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto conocido.
Recta tangente es una recta que toca una curva en un solo punto; como lo muestra la figura3.1.











FIGURA 3.1
Es posible demostrar que la pendiente de la recta tangente en cualquier punto se obtiene derivando la curva y = f(x).
Lo que estamos afirmando es lo siguiente:
: La pendiente en cualquier puntose obtiene derivando el modelo matemático f(x).

Ejemplo1:
Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva: en el punto donde x = 2

El procedimiento a seguir es:
1. Debemos conocer la y del punto; para ello reemplazamos la x en el modelo:

2. Para hallar la pendiente derivamos la función y reemplazamos el valor de x.

3. Con el punto y la pendiente encontramos la ecuación de la rectatangente utilizando la ecuación punto pendiente de la línea recta:

Esta es la ecuación de la recta tangente a la curva, en el punto donde x = 2.
Queda como ejercicio efectuar las dos gráficas sobre un mismo plano cartesiano. La figura3.2 muestra ambas gráficas.

Ejemplo2:
Encuentre la ecuación de las rectas tangente y normal a la curva en el punto donde x = -4.
Debemos hallar primero la“y” del punto:
Para

Para hallar la pendiente, derivamos la función y reemplazamos el valor de “x” en la derivada.



La ecuación de la recta tangente es:

Para hallar la pendiente de la recta normal recordemos que cuando dos ecuaciones son normales o perpendiculares, el producto de sus pendientes es igual a menos uno, es decir:

Podemos decir que la pendiente de la recta normal es m1, la ecuaciónqueda:


Despejando m2 que es la pendiente de la recta perpendicular:



Para hallar la ecuación de la recta normal (ó perpendicular) tenemos la siguiente información:


Reemplazando estos valores en la ecuación punto pendiente de la línea recta:

La ecuación de la recta tangente es:
La ecuación de la recta normal es:

Ejemplo3
Encuentre la ecuación de las rectas tangente y normal a la curva...