8

Átomos polielectrónicos
Principio de antisimetría
Los electrones son indistinguibles uno respecto al otro. Un intercambio
de los electrones del átomo de helio no debe afectar a ninguna de las
propiedades mensurables del sistema.
Por ejemplo, la densidad de probabilidad de que un electrón esté en
las coordenadas 1 = (x1,y1,z1) y el otro en las coordenadas
2 = (x2,y2,z2) no debe de verse afectadapor el intercambio de los dos
electrones:
ρ(1,2) = ρ(2,1)
Lo cual resulta cierto si la función de onda tiene la siguiente propiedad:
2

Ψ (1,2 ) = Ψ (2,1)

2

Átomos polielectrónicos
Principio de antisimetría
2

Ψ (1,2 ) = Ψ (2,1)

2

La igualdad anterior puede satisfacerse ya sea si la función de onda
resulta ser simétrica ante las permutaciones de las coordenadas de
dos electrones

Ψ (1,2) = Ψ(2,1)

CONDICIÓN VÁLIDA PARA BOSONES

o si resulta ser antisimétrica ante las permutaciones de las
coordenadas de dos electrones

Ψ (1,2) = −Ψ (2,1) CONDICIÓN VÁLIDA PARA FERMIONES
Resulta ser que los sistemas con electrones, por tener espín
semientero (por ser fermiones), deben cumplir con la antisimetría,
según el principio de antisimetría de Pauli.
La simetría la cumplen los sistemas conbosones, o sea, con
partículas de espín entero.

Principio de antisimetría:
Un sistema de electrones debe estar descrito por una función de onda
antisimétrica respecto al intercambio de las coordenadas de una
pareja de electrones,
Principio de simetría:
Un sistema de bosones debe estar descrito por una función de onda
simétrica respecto al intercambio de las coordenadas de una pareja de
bosones
WolfganPauli

Átomos polielectrónicos
La solución para el átomo de helio
Si en el hamiltoniano del átomo de helio uno se olvida de la interacción
repulsiva entre los dos electrones,
2
2
2
2
2
h
h
h
Ze
Ze
2
2
2
Hˆ = −
∇ N−
∇ 1−
∇ 2 −κ
−κ
2M
2m
2m
r1
r2

Entonces obtenemos una solución llamada de “electrones
independientes”, en que la función de onda del helio es igual al
producto de dos funcioneshidrogenoides, una para cada uno de los
electrones:

Ψ Sch (1,2) = φn1, l1, m1 (1)φn 2, l 2, m 2 (2)
Pero resulta que esta función no cumple con el principio de
antisimetría, así que John C. Slater elige funciones del espín α y β, y
construye un estado basal con una función de onda determinantal
como la siguiente:

Ψ (1,2) =

1 φ1s (1)α (1) φ1s (2)α (2)
 1
= φ1s (1)φ1s (2)
(α (1)β (2) − α (2)β (1))
2φ1s (1)β (1) φ1s (2)β (2)
 2


Esta función es antisimétrica ante el intercamio de las coordenadas de
los dos electrones, ya que al cambiar las columnas de un
determinante, éste cambia de signo.

La llamada parte espacial de la función de onda, φ1s(1) φ1s(2) es una
función que sólo involucra a las coordenadas radiales r1 y r2:





3/ 2

1 Z
 
φ1s (2 ) =
π  a0 

3/ 2

1 Z

φ1s(1) =
π  a 0

e − Zr1 / a0

e −Zr2 / a0
3

1 Z 
φ1s (1)φ1s (2) =   e − Z (r1 + r2 ) / a0
π  a0 

Átomos polielectrónicos
La solución para el átomo de helio
Funciones determinantales como la de Slater son válidas para
sistemas electrónicos, como es el átomo de helio. Proponer funciones
de onda determinantales implica cumplir con el principio de
antisimetría de Pauli.
De funciones como éstaes claro por qué los dos electrones no pueden
ocupar a la vez el orbital 1s y tener el mismo espín, pues su función de
onda valdría cero, pues eso es lo que sucede cuando dos filas de un
determinante son iguales:

Ψ (1,2) =

1 φ1s (1)α (1) φ1s (2)α (2)
=0
2 φ1s (1)α (1) φ1s (2)α (2)

Vemos que el principio de exclusión de Pauli es un caso particular de
su principio de antisimetría:
Dos electronesen un átomo dado no pueden tener los mismos cuatro
números cuánticos porque ello implicaría que dos filas de la función
determinante de Slater fueran iguales, con lo cual la función de onda
completa valdría cero.

Átomos polielectrónicos
La solución para otros átomos
Para el átomo de litio, hay que colocar tres electrones de tal forma que
sus cuatro números cuánticos no sean iguales, lo cual...