Ajuste De Curvas

CAPÍTULO 4.

Ajuste de Curvas
1. Ajuste De Curvas

En las diferentes áreas del ámbito profesional de un ingeniero, suelen presentarse problemas en los cuáles existe una correspondencia entre dos o más variables representadas por puntos y es necesario encontrar la naturaleza de esta relación.

El ajuste de curvas nace de la necesidad de la interpretación de datos, que pueden serresultado de una experimentación, de un análisis, de un proceso, etc. y estos datos se especifican mejor mediante una ecuación que se ajusta a éstos y que define su comportamiento. De esta manera, se abre paso a la calibración, predicción y simulación de procesos.

Las técnicas desarrolladas para alcanzar este propósito se pueden dividir en dos categorías generales: la regresión y la interpolación.La regresión es una herramienta utilizada para interpretar situaciones reales y predecir o estimar situaciones futuras de dos o más variables relacionadas entre sí, y según la dispersión de datos, se puede dividir en lineal, logarítmica, exponencial y cuadrática entre otras.

La interpolación es la construcción de nuevos puntos intermedios partiendo del conocimiento de un conjunto de puntos.En ingeniería, es frecuente disponer de un número de puntos obtenidos a partir de un muestreo o experimento y construir una función que los ajuste. Así mismo, puede servir de ayuda para aproximar una función complicada en una más simple.

2. Regresión Por Mínimos Cuadrados

En la gráfica siguiente, se muestran 5 datos experimentales que obviamente muestran una variabilidad significativa.[pic]

Se puede hacer un ajuste polinomial de orden cuatro que oscile más allá del rango de datos. La ventaja de este método es que la curva pasará por cada uno de los datos graficados. Sin embargo, este ajuste puede resultar desfavorable si la oscilación es muy amplia.
[pic]

De igual manera, los datos pueden obtenerse mediante una línea recta que minimiza el cuadrado de las distanciasverticales desde cada observación a la línea. A este método se le conoce como regresión por mínimos cuadrados.
[pic]

1. Regresión Lineal

Cuando se tiene un conjunto de pares de observaciones (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn) como se vio en la gráfica anterior y se quiere obtener una línea recta que se ajuste a estos datos, la expresión matemática de la recta será la siguiente:[pic] (4.1)

Para la cual a0 representa la intersección con la ordenada, a1 es la pendiente y e es el error entre el modelo y las observaciones o datos. Si despejamos e sucede lo siguiente:
[pic] (4.2)

De esta manera, podemos deducir que el error es la diferencia entre y los valores calculados de a0 y a1x para la línea recta que se aproxima a los datos.1. Principio Para La Mejor Aproximación

Una técnica para encontrar la línea recta que induce menos defectos que otros métodos, es minimizando la suma de los cuadrados de los residuos entre la y medida y la y calculada con el modelo lineal.
[pic] (4.3)

Para determinar los coeficientes a0 y a1, la ecuación anterior es diferenciada con respecto a cada coeficiente:
[pic]Si hacemos que las derivadas sean igual a cero, Sr implicará un mínimo:
[pic]

Si [pic], las ecuaciones pueden formularse como un sistema de ecuaciones con 2 incógnitas (a0 y a1):
[pic]

A este tipo de ecuaciones se les llama ecuaciones normales y si las resolvemos en forma simultánea, podemos obtener ao y a1:
[pic] (4.4 a, b)

Ejemplo 4.2.1

Ajuste a una línearecta los valores de x y y de la siguiente tabla:
|x |1 |2 |3 |
|1 |1.2 |1.2 |1 |
|2 |0.9 |1.8 |4 |
|3 |2.3 |6.9 |9 |
|4 |1.4 |5.6 |16...