algebra 2

I.- Determina que tipo de demostración se utilizó en cada caso y explica tu respuesta.
Teorema 5. En R, si a + c = b + c, entonces a = b.
Prueba.(1) Si a + c= b + c, entonces
(a + c) + (−c) = (b + c) + (−c)
ello por identidad (es como escribir a = a). Por asociatividad
a + (c + (−c)) = b + (c + (−c))
por lapropiedad del inverso aditivo (que es axioma)
a+ 0 = b + 0
y por la propiedad del neutro aditivo
a = b■
Teorema 6.Si n2es un entero par, entonces n es un enteropar.
Prueba.Si n no es un entero par, entoncesn es impar, luego n = 2k + 1, con k ∈Z ello por definición de entero impar.
Al cuadrado
n2= (2k + 1)2= 4k2+ 4k + 1 =2(2k + 2)+1 = 2k0 + 1
donde k0 = 2k + 2 es un entero. Teniendo n2= 2k0 + 1, concluimos que n2
no es entero par.■
Teorema 8.Para cada a en los Reales,Si a2 = 2entonces a no es racional
Prueba.Supongamos que a2 = 2 y que a es un racional, entonces a = p/q, con p,q enteros, donde podemos suponer que esta fracción yaestá simplificada.
Así (p/q)2 = 2
Entonces p2 = 2q2 (1)
Por lo tanto p2 es par y por el teorema 6, p es par, así p = 2k con K entero. Remplazando en (1)tenemos (2k)2= 2q2, de donde q2= 2k2
es par, luego q es par. Así la fracción p/q no está simplificada lo cual contradice la suposición de que estaba simplificada.■II.- En cada uno de los siguientes teoremas escribe como empezaría la demostración y cómo concluiría si se hiciera directa, por contrarrecíproca o porcontradicción respectivamente.
a) si ab = 0 ⇒a = 0 ó b = 0
b) En R, si a > b y b > c, entonces a > c.
c) En R, demostrar que, si 0 < a < b, entonces ∀n ∈N : an