algebra boleana

Álgebra Booleana

El álgebra booleana es un sistema matemático deductivo centrado en los valores cero y uno (falso y verdadero). Un operador binario " º " definido en éste juego de valores acepta un par de entradas y produce un solo valor booleano, por ejemplo, el operador booleano AND acepta dos entradas booleanas y produce una sola salida booleana.
Para cualquier sistema algebraicoexisten una serie de postulados iniciales, de aquí se pueden deducir reglas adicionales, teoremas y otras propiedades del sistema, el álgebra booleana a menudo emplea los siguientes postulados:


Cerrado. El sistema booleano se considera cerrado con respecto a un operador binario si para cada par de valores booleanos se produce un solo resultado booleano.
Conmutativo. Se dice que un operadorbinario " º " es conmutativo si A º B = B º A para todos los posibles valores de A y B.
Asociativo. Se dice que un operador binario " º " es asociativo si (A º B) º C = A º (B º C) para todos los valores booleanos A, B, y C.
Distributivo. Dos operadores binarios " º " y " % " son distributivos si A º (B % C) = (A º B) % (A º C) para todos los valores booleanos A, B, y C.
Identidad. Un valorbooleano I se dice que es un elemento de identidad con respecto a un operador binario " º " si A º I = A.
Inverso. Un valor booleano I es un elemento inverso con respecto a un operador booleano " º " si A º I = B, y B es diferente de A, es decir, B es el valor opuesto de A.

Teoremas y postulados

          Teoremas

Teorema 1: Multiplicación por cero (identidad)
Es el factor neutro: Suma:a+1=!--------Producto: a0=0

Teorema 2: Absorción En la suma se identifica primero de forma aislada y luego multiplicando a otra expresión. 
Suma: A+(AB)=A----------Producto: A(A+B)=A

Teorema 3: Cancelación I Es cuando se encuentra una expresión sumada o multiplicada con su complemento: Suma: A+A'B=A+B-------Producto: A(A'+B)=AB


Teorema 4: Cancelación II Se identifica en 2 términos quecomparten un factor común y otro que no es común, uno de ellos es el complemento de la otra: Suma: AB+A'B = B---------Producto:(A+B)(A'+B)=B


Teorema 5: Idempotencia Si se suma o multiplica el termino n número de veces, dará por resultado el mismo. Suma: A+A+A=A---------Producto:(A)(A)(A)=A


Teorema 6: Consenso Se encuentran 2 términos que contengan una expresión en uno afirmada y en otronegada, anotar los términos con que se multiplica uno y otro, al final se busca otro elemento o termino que sea la multiplicación de estos 2 últimos, este último se multiplica. Suma: AB+A'C+BC=AB+A'C---------------Producto: (A+B)(A'+C)(B+C)=(A+B)(A'+C)


Teorema 7: De Morgan Si hay suma complementada se puede hacer el producto de cada parte con su complemento. Suma:|A+B|=A'B'---------------Producto: |AB|=A'+B'


Teorema 8: Involución El complemento de un complemento es el termino sin complementos.-----||A=A


Teorema 9: Complemento de neutros El complemento de la nada es el todo y el del todo es la nada.0'=1----1'=0


          Postulados


Postulado 1: Definición En un sistema algebraico definido en un conjunto B, que contiene 2 o más elementos donde pueden darse solo2 operaciones, la suma u operación "OR" y la multiplicación o multiplicación "AND"


Postulado 2: Identidad (existencia de neutros)En B, el elemento neutro de la suma determinada "0" y en la multiplicación "!" donde X en B: a)n+0=X------------ b)X1=X


Postulado 3: Conmutatividad Para cada X,Y,Z en B: a)X+Y=Y+X-----b)XY=YX


Postulado 4: Asociatividad Para cada X,Y,Z en B:a)X+(Y+Z)=(X+Y)+Z---------b)X(YZ)=(XY)Z


Postulado 5: Distributividad Para cada X,Y,Z en B: a)X+(YZ)=(X+Y)(X+Z)------------b)X(Y+Z)=(XY)+(XZ)


Postulado 6: Existencia de complemento Para cada X en B existe un elemento único denotado por X' complemento tal que: a)X+X'= 1-------b)XX'=0




Ejemplos: 

x + x = x                                              x + xy = x 
x + x = (x + x) ....