algebra booleana

EL ÁLGEBRA DE BOOBLE

UN ÁLGEBRA DE BOOLE ES UN SISTEMA DE ELEMENTOS B= {0,1} Y LOS OPERADORES BINARIOS (·) y (+) y (’) DEFINIDOS DE LA SIGUIENTE FORMA:










OPERADOR + -> OPERADOR OR
OPERADOR · -> OPERADOR AND
OPERADOR ‘->OPERADOR NOT

QUE CUMPLEN LAS SIGUIENTES PROPIEDADES:
1. PROPIEDAD CONMUTATIVA:
A + B = B + A
A · B = B · A
2. PROPIEDAD DISTRIBUTIVA:
A·(B+C) = A·B + A·C
A + B·C = (A+B) · (A+C)
3. ELEMENTOS NEUTROS DIFERENTES
A + 0 = A
A · 1 = A
4. SIEMPRE EXISTE EL COMPLEMENTO DE A, DENOMINADO A’
A + A’ = 1
A · A’ = 0

PRINCIPIO DE DUALIDAD: cualquier teorema o identidad algebraica deducible de los postulados anteriores puede transformarse en un segundo teorema o identidad válida sin más que intercambiar (+) por (·) y 1 por0.
CONSTANTE: cualquier elemento del conjunto B
VARIABLE: símbolo que representa un elemento arbitrario del álgebra, ya sea constante o fórmula completa.







TEOREMAS.

El álgebra booleana es un sistema algebraico definido en un conjunto B, el cual contiene dos o más elementos y entre los cuales se definen dos operaciones denominadas "suma u operación OR" (+) y "producto omultiplicación u operación AND" (†), las cuales cumplen con las siguientes propiedades:

TEOREMA 1: el elemento complemento A’ es único.
TEOREMA 2 (ELEMENTOS NULOS): para cada elemento de B se verifica:
A+1 = 1
A·0 = 0
TEOREMA 3: cada elemento identidad es el complemento del otro.
0’=1
1’=0
TEOREMA 4 (IDEMPOTENCIA): para cada elemento de B, se verifica:
A+A=A
A·A=A
TEOREMA 5(INVOLUCIÓN): para cada elemento de B, se verifica:
(A’)’ = A
TEOREMA 6 (ABSORCIÓN): para cada par de elementos de B, se verifica:
A+A·B=A
A·(A+B)=A
TEOREMA 7: para cada par de elementos de B, se verifica:
A + A’·B = A + B
A · (A’ + B) = A · B
TEOREMA 8 (ASOCIATIVIDAD): cada uno de los operadores binarios (+) y (·) cumple la propiedad asociativa:
A + (B+C) = (A+B)+C
A · (B·C) =(A·B) ·C
LEYES DE DEMORGAN: para cada par de elementos de B, se verifica:
(A+B)’ = A’·B’
(A·B)’ = A’ + B’




















OPTIMIZACIÓN DE EXPRESIONES BOOLEANAS.

Podemos optimizar nuestra función booleana y se reduce en una forma más compacta. Tome la función:
F = x1x2 + x1
Podemos reducir la función mediante el uso de las reglas básicas de álgebra y técnicas...F = (x1) (x2 +1) He tomar x1 común
 
Ahora el segundo término (x2 +1) le dará un valor, independientemente de cualquier valor de x2, ya que tiene una constante por lo que puede remplazar a (x2 +1) por lo tanto uno se convierte en F

F = (x1) (1)
F = x1

Así que tenemos que reducir la función en forma más sencilla mediante el uso de las técnicas básicas de álgebra. Ahora nos encontramoscon la salida de esta función.
       
X1 | F | | |
0 | 0 | | |
1 | 1 | | |
0 | 0 | | |
1 | 1 | | |

Así que usted puede ver que parte de la salida de esta función es igual que la salida de la función anterior, porque en realidad ambos son las mismas funciones y hemos reducido la función más simple en el uso de técnicas de álgebra y los teoremas de nuestra propia simplicidad.
Así quesi se le da cualquier función de Boole primero trate de reducir en forma más sencilla para que pueda obtener la salida fácil.























APLICACIÓN DEL ALGEBRA BOOLEANA (COMPUERTAS LÓGICAS).


FUNCIÓN OR, PUERTA OR:










FUNCIÓN AND, PUERTA AND:










FUNCIÓN NOT, INVERSOR:










Con estos tres tipos depuertas puede realizarse cualquier función de conmutación.
Un CONJUNTO DE PUERTAS COMPLETO es aquel con el que se puede implementar cualquier función lógica.
Puerta AND, puerta OR e INVERSOR
Puerta AND e INVERSOR
Puerta OR e INVERSOR










FUNCIÓN NOR, PUERTA NOR: Es también un conjunto completo









FUNCIÓN NAND, PUERTA NAND: Es también un conjunto completo...