Algebra de boole

TEMA 6. ALGEBRA DE BOOLE

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María Jesús Martín Martínez : mjmm@usal.es

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TEMA 6 - ALGEBRA DE BOOLE Y FUNCIONES LÓGICAS

6.1. Introducción 6.2. Álgebra de Boole 6.3. Análisis booleano de circuitos lógicos. Tablas de verdad 6.4.Algoritmos de simplificación de expresiones lógicas 6.5. Implementación de funciones lógicas mediante puertas lógicas

María Jesús Martín Martínez : mjmm@usal.es

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TEMA 6. ALGEBRA DE BOOLE
La Electrónica Digital booleanas

6.1. INTRODUCCIÓN

la realización electrónica (implementación) de funciones

En esta lección vamos a plantear el formalismo asociado al Álgebra de Boole.

PASOS:Inicialmente estableceremos las bases matemáticas asociadas al Álgebra de Boole. Después analizaremos la representación de las variables lógicas por magnitudes físicas, indicando los módulos mínimos para la síntesis de funciones. Estudiaremos algún método para simplificar en alguna forma las funciones booleanas. Por último, se realiza su implementación circuital.

El álgebra booleana sonreglas algebraicas, basadas en la teoría de conjuntos, para manejar ecuaciones de lógica matemática.
La lógica matemática trata con proposiciones, elementos de circuitos de dos estados, etc., asociados por medio de operadores como Y, O, NO, EXCEPTO, SI... Permite cálculos y demostraciones como cualquier parte de las matemáticas. Es llamada así en honor del matemático George Boole, que la introdujo en1847.

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DEFINICION de Algebra boole :

6.2. ALGEBRA DE BOOLE Y BINARIA

Se dice que un conjunto de elementos B, en el que existen definidas dos operaciones binarias (que representaremos por + y por •) tiene estructura de Álgebra de Boole si y solo si se cumplen los siguientes cuatro postulados: Las operaciones + y •son conmutativas.
Ejemplo:

a+b=b+a

y

a•b=b•a

Existen en B dos elementos neutros, que denotaremos por 0 y 1, para las operaciones + y •, respectivamente. a+0= a y a• 1= a Cada operación es distributiva con respecto a la otra (expresa el proceso de sacar factor común).
Ejemplo (tres variables):

a(b+c) = ab + ac
a

Para cada elemento

a

de B existe un

tal que:

a +a =1y a•a = 0
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6.2. ALGEBRA DE BOOLE Y BINARIA

En Electrónica Digital estamos interesados en el Álgebra de Boole establecida en el conjunto B = {0,1} con las operaciones + y • definidas por:

+ 0 1

0 0 1

1 1 1

• 0 1

0 0 0

1 0 1

Estas operaciones se cumplen los 4 postulados anteriores.Llamaremos: AND(Y lógico) a la operación • OR (O lógico) a la operación + NOT (NO lógico) a la operación de complementación.
NOTA; Por simplicidad, de ahora en adelante usaremos la representación xy en vez de la x•y para la composición de las variables x e y mediante la operación •.

La Electrónica Digital: estudio y realización de circuitos que realicen las funciones AND, OR, NOT y sus combinaciones.
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6.2. ALGEBRA DE BOOLE Y BINARIA

Existen una serie de teoremas, válidos en cualquier álgebra de Boole, que vamos a enunciar y que no demostraremos, los cuales nos serán de gran utilidad para la simplificación de funciones:
Teorema 1. Principio de dualidad: Cada proposición o identidad algebraica deducible de los postuladosdel Álgebra de Boole permanece válida si:
cambiamos entre si las operaciones + y •, y también cambiamos entre si los elementos neutros 0 y 1.

Teorema 2. Teorema 3. Teorema 4. Ley de absorción

x+x = x
x +1 = 1

xx = x

x0 = 0
x( x + y ) = x
x( yz ) = ( xy ) z

x + xy = x

Teorema 5. Asociatividad de las operaciones + y •

x + ( y + z) = ( x + y) + z

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