Algebra de boole

Álgebra de Boole

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Álgebra de Boole (también llamada Retículas booleanas) en informática y matemática, es una estructura algebraica que rigorizan las operaciones lógicas Y, O y NO, así como el conjunto de operaciones unión, intersección y complemento.


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Definición [editar]
El Álgebra de Boole es una estructura algebraica que puede ser considerada desdedistintos puntos de vista matemáticos:
Como retículo [editar]
El álgebra de Boole es un retículo (A, 1,0, , +), donde el conjunto A = {1,0}, como retículo presenta las siguientes propiedades, las leyes principales son estas:
1. Ley de Idempotencia:


2. Ley de Asociatividad:


3. Ley de Conmutatividad:


4. Ley de Cancelativo


Como anillo [editar]
El Álgebra de Boole tieneEstructura algebraica de Anillo:
Grupo abeliano respecto a (+) [editar]
El conjunto A es un Grupo abeliano respecto a (+):
1. (+) es una operación interna en A:

2. Es asociativa:

3. Tiene elemento neutro

4. Tiene elemento simétrico:

5. es conmutativa:

Grupo abeliano respecto a (•) [editar]
El conjunto A es un Grupo abeliano respecto a ( ):
6. ( ) es una operación internaen A:

7. Es asociativa:

8. Tiene elemento neutro

9. Tiene elemento simétrico:

10. es conmutativa:

El conjunto A={0,1} es un Grupo abeliano respecto a ( ):
6. ( ) es una operación interna en A:

7. Es asociativa:

8. Tiene elemento neutro

9. Tiene elemento simétrico:

10. es conmutativa:

Distributivo [editar]
El conjunto A es un Grupo abeliano respecto a (+) y( ) y es distributiva:
11. La operación (+) es distributiva respecto a ( ):


12. La operación ( ) es distributiva respecto a (+):


Como resultado podemos decir que el Álgebra de Boole tiene Estructura algebraica de anillo conmutativo y con elemento neutro respecto a las dos operaciones (+) y ( ).
Operaciones [editar]
Hemos definido el conjunto A = {1,0} como el conjunto universalsobre el que se aplica el álgebra de Boole, sobre estos elementos se definen varias operaciones, veamos las más fundamentales:
Operación suma [editar]
a b a + b
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
La operación suma (+) asigna a cada par de valores a, b de A un valor c de A:

Su equivalencia en lógica de interruptores es un circuito de dos interruptores en paralelo.

Si uno de los valores de a o bes 1, el resultado será 1, es necesario que los dos sumandos sean 0, para que el resultado sea 0.


Operación producto [editar]
a b a b
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
La operación producto ( ) asigna a cada par de valores a, b de A un valor c de A:

Esta operación en lógica de interruptores es un circuito en serie de dos interruptores

solo si los dos valores a y b son 1, elresultado será 1, si uno solo de ellos es 0 el resultado será 0.


Operación negación [editar]
a
0 1
1 0
La operación negación presenta el opuesto del valor de a:

Un interruptor inverso equivale a esta operación:



Operaciones combinadas [editar]
a b
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 1
Partiendo de estas tres operaciones elementales se pueden realizar otras más complejas, quepodemos representar como ecuaciones booleanas, por ejemplo:

Que representado en lógica de interruptores es un circuito de dos interruptores en paralelo, siendo el primero de ellos inverso.

La distinta secuencia de valores de a y b da los resultados vistos en la tabla de verdad.


Leyes fundamentales [editar]
El resultado de aplicar cualquiera de las tres operaciones definidas avariables del sistema booleano resulta en otra variable del sistema, y este resultado es único.
1. Ley de idempotencia:


2. Ley de involución:

3. Ley conmutativa:


4. Ley asociativa:


5. Ley distributiva:





6. Ley de cancelación:


7. Leyes de De Morgan:



Principio de dualidad [editar]
El concepto de dualidad permite formalizar este hecho: a toda...