Algebra de conjuntos

3 ´ Algebra de Conjuntos
En este cap´ ıtulo, como en los siguientes, estudiaremos las operaciones conjuntistas m´s comunes, por lo que moment´neamente supondremos la existencia a a u de conjuntos como el de los n´meros naturales N,1 el de los n´meros reales u R, o conjuntos que de ellos se desprenden; esto es s´lo con el af´n de proporo a cionar ejemplos ilustrativos de los conceptos quetratemos. La existencia de estos conjuntos ser´ formalizada en su momento. a

3.1 Operaciones Fundamentales
En el cap´ ıtulo anterior la Definici´n 2.16 reza “A se dice subconjunto de B, o A B, si todo elemento de A es tambi´n un elemento de B”. La relaci´n de e o contenci´n tiene las siguientes propiedades para conjuntos A, B y C. o (1) A A. (2) Si A B y B C entonces A C. (3) A B y B A si y s´lo si A= B. o (1), (2), (3) se expresan brevemente diciendo que la propiedad de contenci´n o es reflexiva, transitiva y antisim´trica, respectivamente. e En los Ejemplos 2.3 y 2.13 se mostr´ la existencia de dos utiles conjuntos; o ´ ahora hacemos una definici´n formal de ellos. o Definici´n 3.1 Si A y B son conjuntos, la uni´n de A y B, es el conjunto o o A B = {x : (x A) (x B)} .

o La intersecci´n de Ay B es el conjunto A B = {x : (x A) (x B)} .

Acorde a la definici´n anterior, una condici´n necesaria y suficiente para o o que A B 6= es que A y B tengan elementos en com´n. u
1

Aqu´ consideraremos N = {0, 1, 2, . . .}. ı

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´ 3. Algebra de Conjuntos

Definici´n 3.2 Diremos que los conjuntos A y B son ajenos si A o

B= .

Con la terminolog´ proporcionada por las definicionesanteriores podemos ıa formular el Axioma de Fundaci´n como sigue: “En cada conjunto no vac´ A o ıo existe un elemento u A que es ajeno a A, es decir, u A = ”. El siguiente teorema nos muestra c´mo se comportan la uni´n y la intero o secci´n con respecto de la contenci´n. o o Teorema 3.3 Para cualesquiera conjuntos A, B, C, D tenemos: (a) A B A A B. (b) Si A C y B D entonces A B C D y A B C (c) A C y BC si y s´lo si A B C. o ´ Demostracion: Solamente probaremos (a) dejando como ejercicio para el lector las partes (b) y (c). Si x A B entonces x A y x B, as´ en particular x A, es decir ı A B A. Por otra parte, para cualquier x A se tiene que x A B por definici´n de A B, es decir, A A B. o El siguiente teorema puede demostrarse sin dificultad. Teorema 3.4 Las operaciones (a) Reflexivas: para todo A,A (b) Asociativas: A (B C) = (A B) C y A (B C) = (A B) C. y son:

D.

A=A=A

A.

(c) Conmutativas: A M´s a´n, a u B=B A y y A B=B A. :

distribuye sobre A (B

distribuye sobre B) B) (A C) C).

C) = (A C) = (A

y A (B (A

3.1. Operaciones Fundamentales

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En virtud de la asociatividad, podemos designar a A (B C) simplemente por A B C. Similarmente, una uni´n y unaintersecci´n de cuatro conjuntos, o o digamos (A B) (C D) y (A B) (C D), pueden ser escritas como A B C D y A B C D puesto que la distribuci´n de par´ntesis o e es irrelevante, y por la conmutatividad el orden de los t´rminos tambi´n es e e irrelevante. Por inducci´n, la misma observaci´n es aplicable a la uni´n y la o o o intersecci´n de cualquier n´mero finito de conjuntos. La uni´n y la intersecci´n o uo o de n conjuntos son escritas como
n [ k=1

Ak ,

n \ k=1

Ak . B en t´rminos de e

Ahora daremos una caracterizaci´n de la propiedad A o la uni´n y la intersecci´n. o o Teorema 3.5 Los siguientes enunciados son equivalentes: (a) A B. (b) A = A B. (c) B = A B. ´ Demostracion:

(a) (b). Supongamos que A B. Por 3.3(a) sabemos que A B A. Ahora, si x A entonces x A y x B (ya que A B); osea, x A B. Por lo tanto, A A B. As´ concluimos que A = A B. ı (b) (c). Si A = A B entonces se tienen las siguientes implicaciones: x A B (x A) (x B) (x A B) (x B) x B, lo cual muestra que A B B, y nuevamente 3.3(a) nos proporciona B A B. Por lo tanto, B = A B. (c) (a). Si B = A B entonces A A B = B. Definici´n 3.6 La diferencia de dos conjuntos A y B es o A \ B = {x A : x / B} .

El Ejercicio...