Algebra Ejercicios

Pontificia Universidad Católica de Chile MAT1203 - Álgebra Lineal Segundo Semestre 2012 Sección 7 Ayud: Daniela Hurtado (drhurtad@uc.cl)

AYUDANTÍA 4
Lunes 27 de agosto, 2012

Problema 1.

  1 1  1   2 (P5 Ay 3) Considere los vectores w1 =  , w2 =   1   3 1 4





 1    , w 3 =  0 ,   1  1



 2  1  w4 =    4  5



(a) Estudie la dependencialineal del conjunto A = {w1 , w2 , w3 , w4 }.
 1  0  4  (b) Sean n =   −3  y W = {x ∈ R : x · n = 0}. Demuestre que A ⊂ W y que todo 2 v ∈ W puede escribirse como combinación lineal de los elementos de A. 

Solución: Ver Ayudantía 3, Problema 5
Problema 2.

Sea A la matriz que se especica abajo y H el hiperplano H = {x ∈ R4 : x1 + x2 − x3 = 0}. Encuentre la imagen de H por A.
1  0A=  1 2  1 2 0 3 0 2 1 1  2 2   2  2

1

Solución: En primer lugar, escribamos el hiperplano H como conjunto generado. Para ello, tomamos un vector x ∈ H .
⇒x1 + x2 − x3 = 0 ⇒x1 = −x2 + x3   −x2 + x3   x2  ⇒x =    x3 x4    1 1  −1   0   ⇒H =   0 ,  1 0 0
h1 h2

 

 0   0  ,     0  1
h3

Luego, para hallar la imagen de H por A recordemos que lasmatrices son funciones lineales que, al tomar un vector x retorna el vector Ax, es decir, la imagen de un vector x por la matriz A es Ax. Así, obtenemos que la imagen del hiperplano H por A resulta de multiplicar A por los elementos de H . Como H es un conjunto generado, es imposible que multipliquemos por TODOS sus elementos. Por esto, tomaremos un elemento arbitrario de H , es decir, un elementoque sea combinación lineal de los vectores hallados anteriormente, pero que los ponderadores sean desconocidos. De este modo, obtendremos otro conjunto generado, que corresponderá a la imagen de H por A. Sea v ∈ H
⇒v = αh1 + βh2 + γh3 ⇒Av = A(αh1 + βh2 + γh3 ) = A(αh1 ) + A(βh2 ) + A(γh3 )

Resolvamos cada multiplicación:
1  0 A(αh1 ) =   1 2  1  0 A(γh3 ) =   1 2  1 2 0 3 1 2 0 3 0 21 1 0 2 1 1    2 α 0   −α   −2α 2  = 2  0   α 2 0 −α     2 0 2γ 2   0   2γ    =   2   0   2γ  2 γ 2γ     1  0 A(βh2 ) =   1 2  1 2 0 3 0 2 1 1  2 β  0 2  2  β 2 0  β   2β   =   2β  3β  

2

Por lo tanto, la imagen de H por A es
   0 1  −2   2     1 , 2 −1 3
Problema 3.

 

 2   2  ,    2  2

Sea n∈ N. Sea A ∈ Mn (R) una matriz diagonal con entradas distintas en la diagonal. Sea B ∈ Mn (R) tal que AB = BA. Demostrar que B es también una matriz diagonal. Solución: Para realizar esta demostración trabajaremos con los elementos de las matrices. De este modo, consideraremos:
A =(ai,j )n i,j=1 B =(bi,j )n i,j=1

donde ai,j = 0 si i = j pues A es matriz diagonal

Sean C = AB y D = BA. Ahoraescribamos C y D de acuerdo a sus elementos. Por denición de la multiplicación de matrices, tendremos:
n

ci,j =
k=1 n

ai,k bk,j = ai,i bi,j bi,k ak,j = bi,j aj,j
k=1

y

di,j =

, pues ai,k = 0 si i = k

Del enunciado, tenemos que C = D, entonces deben ser iguales elemento a elemento, es decir:
ci,j = di,j ∀i, j = 1 . . . n ⇒ai,i bi,j = bi,j aj,j ⇒ai,i bi,j − bi,j aj,j = 0 ⇒bi,j(ai,i − aj,j ) = 0

Ahora notemos que, para que se cumpla la igualdad anterior, tenemos dos opciones: 1. ai,i − aj,j = 0 Del enunciado obtenemos que esto solo puede ocurrir si i = j , pues se nos dice que las entradas de A son distintas. Así, no hay condiciones sobre los elementos de la diagonal de B , es decir, pueden valer 0 u otro número. 2. bi,j = 0 Esta condición es necesaria para i = j ,por la misma razón anterior. De este modo, concluimos que los elementos de B que no pertenecen a la diagonal deben ser nulos. 3

Por lo tanto, B es una matriz diagonal.

Problema 4.

Demuestre que:

(a) Si A : Rn → Rn , entonces para cualquier u ∈ ker(A) se tiene que Au ∈ ker(A) Solución: Lo que debemos hacer es tomar la hipótesis (u ∈ ker(A)) y usar la información que tenemos para...