algebra II

TEST 02
Deduzca las series de Fourier en variable compleja.
La ventaja del empleo de notación en variable compleja para la representación de las series de Fourier radica en el hecho de que esta notación conduce a expresiones más sencillas que las desarrolladas en variable real. Esta es con seguridad la principal razón por la cual la mayoría de textos han abordado la teoría del análisis deFourier en el campo de la variable compleja.
Para obtener el desarrollo de las series de Fourier en variable compleja se propone una base de expresiones complejas así:

Sea f (t) una función periódica con periodo T definida en el intervalo –T/2≤ t ≥T/2

ω= 2 /T

Sea B= {…e-3jωt, e-2jωt, e-jωt, e0jωt, ejωt, e2jωt, e3jωt….}
Ahora se propone un polinomio de la forma.
f(t)= {….+C-2 e-2jωt +C-1 e-jωt + C0 e0jωt + C1 ejωt + C2 e2jωt+…}
Escrito de una manera más resumida:
f(t)= Cn ejnωt
Se trata entonces de calcular el valor de los coeficientes Cn de la expresión anterior.
Partimos del hecho de que los coeficientes deben corresponder a los valores que mejor ajustan la serie a la función f(t). Para encontrar los coeficientes que mejor ajustan la serie de Fourier a la función f(t),se propone el método de mínimos cuadrados.
Por cuestión de espació proponemos la demostración de la serie de Fourier de orden dos, pero cuyos resultados se extienden a la serie de Fourier de orden n.
Se realiza la matriz de la siguiente manera:
En la primera fila: el primer término por sí mismo, por los demás y por la función f(t), en la segunda fila: el segundo término por sí mismo, por losdemás y por la función f(t) y así sucesivamente.




e-4jωt dt e-3jωt dt e-2jωt dt e-jωt dt e0jωt dt e-2jωt f(t) dt
e-3jωt dt e-2jωt dt e-jωt dt e0jωt dt e1jωt dt e-1jωt f(t) dt
e-2jωt dt e-1jωt dt e0jωt dt ejωt dt e2jωt dt e0jωt f(t) dt
e-jωt dt e0jωt dt ejωt dt e2ωt dt e3jωt dt ejωtf(t) dt
e0jωt dt ejωt dt e2jωt dt e3jωt dt e4jωt dt e2jωt f(t) dt

Luego se calcula cada una de las integrales.
e-njωt dt = 0, n ≠ 0
e0jωt dt = dt = T
Al calcular cada integral obtenemos:
0 0 0 0 T e-2jωt f(t) dt
0 0 0 T 0 e-jωt f(t) dt
0 0 T 0 0 f(t) dt
0 T 0 0 0ejωt f(t) dt
T 0 0 0 0 e2jωt f(t) dt
Luego se realiza eliminación Gaussiana y se obtiene:
0 0 0 0 1 1/Te-2jωt f(t) dt
0 0 0 1 0 1/Te-jωt f(t) dt
0 0 1 0 0 1/Tf(t) dt
0 1 0 0 0 1/Tejωt f(t) dt
1 0 0 0 0 1/Te2jωt f(t) dt
Y finalmente seconcluye que.
f(t)= …+ 1/Te2jωt f(t) dt e-2jωt + 1/Tejωt f(t) dt e-jωt + 1/Tf(t) dt e0jωt +
1/Te-jωt f(t)dt ejωt + 1/Te-2jωt f(t)dt e2jωt +…..
Se escribe en forma más compacta mediante la notación sumatorias así.
f(t)= Cn ejnωt tal que Cn = 1/Te-jnωt f(t) dt
Encuentre la relación entre las series de Fourier en variable real y compleja.
Enseguida se muestra la forma de obtener elespectro de frecuencias de una función a partir de las series de Fourier tanto en variable real como en variable compleja.

Series de Fourier en variable compleja
f(t)= a0 an sen(nωt) + bn cos(nωt) ; donde ω= 2 /T
a0 =1/Tf(t)dt, an =2/Tsen(nωt)f(t)dt, bn =2/Tcos(nωt)f(t)dt
A partir de la anterior gráfica es fácil concluir que las componentes de las series de Fourier en variablereal pueden ser analizadas como la combinación de vectores rotantes los cuales giran en sentido anti horario formando un ángulo (nωt) con el eje (X) para el vector de amplitud (an) y un ángulo (nωt) con el eje (Y) para el vector de amplitud (bn), de tal modo que estos dos vectores siempre se encuentran rotando a la misma frecuencia formando un ángulo de 90º. A partir de lo anterior se puede...