Algebra Lineal 1
Páginas: 5 (1008 palabras)
Publicado: 14 de abril de 2015
INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE MISANTLA
Anairis Sánchez González
Ing. Civil 206 A
Propiedades de los determinantes
Algebra Lineal
José Salas Martínez
INDICE:
Introducción……………………………………………………………..3
Propiedades de los determinantes…..............................................4
Propiedad 1……………………………………………………………..4
Propiedad 2……………………………………………………………..5
Propiedad 3.………………………………………………………..5 - 6
Propiedad 4……………………………………………………………..6
Propiedad 5……………………………………………………………..7
Propiedad 6……………………………………………………………..8
Propiedad 7……………………………………………………………..9
Propiedad 8……………………………………………………………10
Propiedad 9……………………………………….............................10
Propiedades para calcular determinantes de alto orden …… 11-12
Adjunto de una matriz…………………………………………….12-13
Matriz indivisible…………………………………………………..13-14Conclusión……………………………………………………………15
Bibliografía……………………………………………………………15
INTRODUCCIÓN
El siguiente trabajo se izó con el fin de saber un poco más sobre las propiedades de los determinantes, al comienzo del trabajo se presentan las propiedades de los determinantes, luego se explica cada una de sus propiedades de forma clara y precisa y se dan unos ejercicios de ejemplo de cadapropiedad correspondiente, como las operaciones como se pueden realizar y las distintas formas en las que podemos obtener el determinante.
Para comenzar antes que nada tenemos que saber la definición de determinante se dice que es como una forma multilineal alternada de un cuerpo , esta definición indica una serie de propiedades matemáticas y generaliza el concepto de determinante haciéndolo aplicableen numerosos campos. Sin embargo el concepto de determinante fue introducido para estudiar el número de soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales.
PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES.
Los determinantes tienen las siguientes propiedades que son útiles para simplificar su evaluación.
En los párrafos siguientes consideramos que A es una matriz cuadrada.
Propiedad 1:
Siuna matriz A tiene un renglón (o una columna) de ceros, el determinante de A es cero.
Ejemplo 1.
Sea
Desarrollando por cofactores del primer renglón se tiene
Propiedad 2:
El determinante de una matriz A es igual al determinante de la transpuesta de A.
Esto es
Ejemplo 2.
Sea
La transpuesta de A es
Propiedad 3:
Si se intercambian dos renglones (o dos columnas) de una matriz A entonces el determinante cambia de signo.
Ejemplo 3.
Sea
Con
Intercambiando los renglones 1 y 2 la matriz queda
Con
Note que los determinantes se calcularon expandiendo por cofactores de laprimera columna.
Propiedad 4:
Si una matriz A tiene dos renglones (o dos columnas) iguales entonces det A = 0.
Ejemplo 4:
Sea
Entonces:
Propiedad 5.
Cuando un solo renglón (o columna) de una matriz A se multiplica por un escalar r el determinante de la matriz resultante es r veces el determinante de A, r det A.
Ejemplo 5.
Sea cuyo determinante se calculó en el ejemplo 2,
Multiplicando el tercer renglón de A por el escalar r = 3 se tiene la matriz B siguiente
Cuyo determinante, desarrollado por cofactores de la primera columna de B es
Propiedad 6.
Si un renglón de la matriz A se multiplica por un escalar r y se suma a otrorenglón de A, entonces el determinante de la matriz resultante es igual al determinante de A, det A. Lo mismo se cumple para las columnas de A.
Ejemplo 6.
Sea cuyo determinante se calculó en el ejemplo
2,
Multiplicando la segunda columna de A por el escalar 2 y sumándola a la columna 3 se obtiene la matriz B siguiente
...
INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE MISANTLA
Anairis Sánchez González
Ing. Civil 206 A
Propiedades de los determinantes
Algebra Lineal
José Salas Martínez
INDICE:
Introducción……………………………………………………………..3
Propiedades de los determinantes…..............................................4
Propiedad 1……………………………………………………………..4
Propiedad 2……………………………………………………………..5
Propiedad 3.………………………………………………………..5 - 6
Propiedad 4……………………………………………………………..6
Propiedad 5……………………………………………………………..7
Propiedad 6……………………………………………………………..8
Propiedad 7……………………………………………………………..9
Propiedad 8……………………………………………………………10
Propiedad 9……………………………………….............................10
Propiedades para calcular determinantes de alto orden …… 11-12
Adjunto de una matriz…………………………………………….12-13
Matriz indivisible…………………………………………………..13-14Conclusión……………………………………………………………15
Bibliografía……………………………………………………………15
INTRODUCCIÓN
El siguiente trabajo se izó con el fin de saber un poco más sobre las propiedades de los determinantes, al comienzo del trabajo se presentan las propiedades de los determinantes, luego se explica cada una de sus propiedades de forma clara y precisa y se dan unos ejercicios de ejemplo de cadapropiedad correspondiente, como las operaciones como se pueden realizar y las distintas formas en las que podemos obtener el determinante.
Para comenzar antes que nada tenemos que saber la definición de determinante se dice que es como una forma multilineal alternada de un cuerpo , esta definición indica una serie de propiedades matemáticas y generaliza el concepto de determinante haciéndolo aplicableen numerosos campos. Sin embargo el concepto de determinante fue introducido para estudiar el número de soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales.
PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES.
Los determinantes tienen las siguientes propiedades que son útiles para simplificar su evaluación.
En los párrafos siguientes consideramos que A es una matriz cuadrada.
Propiedad 1:
Siuna matriz A tiene un renglón (o una columna) de ceros, el determinante de A es cero.
Ejemplo 1.
Sea
Desarrollando por cofactores del primer renglón se tiene
Propiedad 2:
El determinante de una matriz A es igual al determinante de la transpuesta de A.
Esto es
Ejemplo 2.
Sea
La transpuesta de A es
Propiedad 3:
Si se intercambian dos renglones (o dos columnas) de una matriz A entonces el determinante cambia de signo.
Ejemplo 3.
Sea
Con
Intercambiando los renglones 1 y 2 la matriz queda
Con
Note que los determinantes se calcularon expandiendo por cofactores de laprimera columna.
Propiedad 4:
Si una matriz A tiene dos renglones (o dos columnas) iguales entonces det A = 0.
Ejemplo 4:
Sea
Entonces:
Propiedad 5.
Cuando un solo renglón (o columna) de una matriz A se multiplica por un escalar r el determinante de la matriz resultante es r veces el determinante de A, r det A.
Ejemplo 5.
Sea cuyo determinante se calculó en el ejemplo 2,
Multiplicando el tercer renglón de A por el escalar r = 3 se tiene la matriz B siguiente
Cuyo determinante, desarrollado por cofactores de la primera columna de B es
Propiedad 6.
Si un renglón de la matriz A se multiplica por un escalar r y se suma a otrorenglón de A, entonces el determinante de la matriz resultante es igual al determinante de A, det A. Lo mismo se cumple para las columnas de A.
Ejemplo 6.
Sea cuyo determinante se calculó en el ejemplo
2,
Multiplicando la segunda columna de A por el escalar 2 y sumándola a la columna 3 se obtiene la matriz B siguiente
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