algebra lineal 1

2 Dependencia lineal
Los siguientes conceptos son fundamentales para el estudio de los espacios vectoriales, ya que la idea de independencia lineal nos llevará a las definiciones de base, rango, dimensión, etc., de capital importancia para dicho estudio. A partir de estos conceptos podremos profundizar en el an´alisis de estas estructuras algebraicas, encontrando formas alternativas derepresentación y caracterizando los posibles subconjuntos del espacio vectorial que conservan las mismas propiedades. En lo sucesivo consideraremos un espacio vectorial real cualquiera, [V, +, ·]).
Dados los vectores xi ∈ V 1 ≤ i ≤ n y los escalares αi ∈R 1 ≤ i ≤ n, se denomina combinaci´on lineal de los vectores x1, x2, . . . , xn ∈ V a toda expresi´on del tipo: α1x1 + α2x2 + · · · + αnxn o notación abreviada Xn i=1 αixi .
Se dice que x ∈ V es una combinación lineal, o que depende linealmente, de los vectores {x1, . . . , xn} de V si existen α1, α2, . . . , αn ∈ R tales que: x = Xn i=1 αixi
Un conjunto finito de vectores H ={x1, x2, . . . , xk} siendo H ⊂ V se dice que es linealmente dependiente o que forman un sistema ligado, si existen α1, α2, . . . , αk ∈ R, no todos nulos, tales que Xn i=1 αixi = α1x1 + α2x2 + · · · + αkxk = 0 Si de cualquier combinación lineal de ellos igualada a cero α1x1 + α2x2 + · · · + αkxk = 0
Propiedades de la dependencia lineal.
Si un conjunto de vectores {x1, x2, . . . , xk}contiene al vector nulo, es un sistema ligado. 0x1 + 0x2 + · · · + 1 · 0 + · · · + 0xk = 0 siendo 1 6= 0.
Si en un conjunto de vectores {x1, x2, . . . , xk} hay dos proporcionales entonces, es un sistema ligado. xi = kxj =⇒ 0x1+· · ·+0xi−1+kxj+0xi+1+· · ·+(−k)xj+· · ·+0xk = 0 con k 6= 0, por lo que {x1, x2, . . . , xk} es un sistema ligado.
c) H = {x1, . . . , xr} sistema ligado H ⊂H0 = {x1, . . . , xr, xr+1, . . . , xk}    =⇒ H0 sistema ligado λ1x1 + · · · + λrxr = 0 con algún λi 6= 0 =⇒ λ1x1 + · · · + λrxr + 0xr+1 + · · · + 0xk = 0 con λi 6= 0.
d) Si un vector x es una combinación lineal de los vectores {x1, x2, . . . , xm} y cada uno de estos depende linealmente de {y1, y2, . . . , yk} entonces, x depende linealmente de {y1, y2, . . . , yk} x = Xm i=1 λixi = Xm i=1 λi· X k j=1 αijyj = X k j=1 ( Xm i=1 λiαij )yj = X k j=1 βjyj
e) Un conjunto formado por un ´unico vector no nulo, es un sistema libre. x 6= 0 y αx = 0 =⇒ α = 0 =⇒ {x} es un sistema libre.
f) Si H = {x1, x2, . . . , xn} es un sistema libre, cualquier subconjunto no vac´ıo de H es tambi´en un sistema libre. Sea {x1, . . . , xr} ⊂ {x1, . . . , xn}. Si {x1, . . . , xr} fuese ligado entonces, {x1, .. . , xn} ser´ıa ligado en contra de la hip´otesis (ver el apartado c). g) Ning´un sistema libre puede contener al vector nulo. Si contuviese al 0, ser´ıa un sistema ligado (ver el apartado a).
Ejercicio
Sean x, y vectores de R3 definidos por x = (1, 2, 3) e y = (0, 1, 2). Verificar que x e y son linealmente independientes.
Solución: Sean α, β ∈ R. Se debe probar que αx + βy = 0 ⇒ α = β = 0. Enefecto, se tiene que αx + βy = (α, 2α + β, 3α + 2β), luego si αx + βy = 0 se deduce que
α = 0
2α + β = 0 3α + 2β = 0,
de donde es claro que α = β = 0
Teorema fundamental de la dependencia lineal.
Sea V un espacio vectorial sobre un campo F, sean a1, . . . , am ∈ V y sean b1, . . . , bn ∈ `(a1, . . . , am), donde n > m. Entonces b1, . . . , bn son linealmente dependientes. Tambiénpodemos escribir el teorema en forma contrapositiva:
Ejemplo. Antes de dar la demostraci´on general expliquemos la idea con un ejemplo. Sea V un espacio vectorial real, sean a1, a2 ∈ V y sean b1, b2, b3 las siguientes combinaciones lineales de a1, a2: b1 = 3a1 + 5a2, b2 = −a1 + 2a2, b3 = 4a1 − 6a2.
(1) En este ejemplo los dos vectores a1, a2 generan a los tres vectores b1, b2, b3 (m = 2, n = 3)....