Algebra lineal 8

´
Algebra
Lineal VIII: Bases y Dimensi´on
Jos´e Mar´ıa Rico Mart´ınez
Departamento de Ingenier´ıa Mec´anica
Divisi´on de Ingenier´ıas, Campus Irapuato-Salamanca
Universidad de Guanajuato
email: jrico@ugto.mx
En estas notas se presentar´an el concepto de bases de espacios vectoriales y dimensi´on de espacios
vectoriales.

1.

Bases

Definici´
on de bases. Considere un espacio vectorial V sobre uncampo K. Una base, B, del espacio
vectorial V es un conjunto linealmente independiente1 de V que genera a V.
Teorema. Sea V un espacio vectorial sobre un campo K. Suponga que V tiene una base {v1 , v2 , . . . , vm }
que contiene un n´
umero finito de elementos y sean w1 , w2 , . . . , wn elementos del espacio vectorial V con
n > m. Entonces el conjunto S = {w1 , w2 , . . . , wn } es linealmentedependiente.
En lugar de probar este teorema que es un cuanto tanto complicado, ilustraremos el significado de
este teorema mediante un ejemplo.
Considere el espacio vectorial R3 sobre el campo R, primeramente se mostrar´a que BR3 = {ˆ
e1 , eˆ2 , eˆ3 }
donde
eˆ1 = (1, 0, 0), eˆ2 = (0, 1, 0), eˆ3 = (0, 0, 1)
es una base para R3 . Primeramente, se mostrar´a que BR3 es un conjunto linealmenteindependiente, la
ecuaci´on vectorial
λ1 eˆ1 + λ2 eˆ2 + λ3 eˆ3 = 0
condude a
λ1 = 0 λ2 = 0

λ3 = 0.

(1)

Finalmente se mostrar´a que BR3 es un conjunto generador, la ecuaci´on vectorial
λ1 eˆ1 + λ2 eˆ2 + λ3 eˆ3 = x = (x1 , x2 , x3 )

(2)

donde x = (x1 , x2 , x3 ) es un elemento arbitrario de R3 conduce a
λ1 = x1

λ2 = x2

λ3 = x3 .

As´ı pues, se ha probado que BR3 es, efectivamente, una base de R3 .Considere ahora el conjunto S = {w1 = (1, 3, 2), w2 = (−2, 1, 5), w3 = (0, 1, 3), w4 = (7, 1, −2)}, de
acuerdo con el teorema, debemos probar que S es un conjunto linealmente dependiente. Considere el
vector
w1 = (1, 3, 2) = 1 eˆ1 + 3 eˆ2 + 2 eˆ3
1 Es

importante adem´
as que que conjunto sea ordenado.

1

Por lo tanto,
eˆ1 = w1 − 3 eˆ2 − 2 eˆ3

(3)

1
Considere ahora el conjunto BR
3 dado por
1
ˆ2, eˆ3 }
BR
3 = {w1 , e
1
es necesario probar que BR
en es una base. En primer lugar, por la ecuaci´on (3), eˆ1 ∈ [w1 , eˆ2 , eˆ3 ]
3 tambi´
1
1
por lo tanto BR3 es un conjunto generador, falta probar que BR
3 es linealmente independiente. Considere
la ecuaci´on
λ1 w1 + λ2 eˆ2 + λ3 eˆ3 = 0

que conduce a la ecuaci´on escalar
1 λ1 + 0 λ2 + 0 λ3
3 λ1 + 1 λ2 + 0 λ3

=
=

0
0

2 λ1 + 0 λ2 + 1 λ3

=

0conduce a la soluci´on
λ1 = 0 λ2 = 0

λ3 = 0,

1
BR
3

es linealmente independiente y es, tambi´en, una base.
y, por lo tanto,
Considere ahora
w2 = −2 eˆ1 + 1 eˆ2 + 5 eˆ3 ,

(4)

sustituyendo la ecuaci´on (3) se tiene que
w2 = −2 (w1 − 3 eˆ2 − 2 eˆ3 ) + 1 eˆ2 + 5 eˆ3 = −2 w1 + 7 eˆ2 + 9 eˆ3
Por lo tanto,
eˆ2 =

1
[2 w1 + w2 − 9 eˆ3 ]
7

(5)

(6)

2
Considere ahora el conjunto BR
3 dado por
2
BRˆ3 }
3 = {w1 , w2 , e
2
es necesario probar que BR
en es una base. En primer lugar, por la ecuaci´on (6), eˆ2 ∈ [w1 , w2 , eˆ3 ]
3 tambi´
2
2
por lo tanto BR3 es un conjunto generador, falta probar que BR
3 es linealmente independiente. Considere
la ecuaci´on
λ1 w1 + λ2 w2 + λ3 eˆ3 = 0

que sustituyendo la ecuaci´on (5), se convierte a
λ1 w1 + λ2 (−2 w1 + 7 eˆ2 + 9 eˆ3 ) + λ3 eˆ3 = (λ1 − 2 λ2 ) w1 +7λ2 eˆ2 + (9 λ2 + λ3 ) eˆ3 = 0
1
que conduce a la ecuaci´on escalar, pues note que BR
ˆ2 , eˆ3 } es tambi´en una base
3 = {w1 , e

1 λ1 − 2 λ2 + 0 λ3
0 λ1 + 7 λ2 + 0 λ3

=
=

0
0

0 λ1 + 9 λ2 + 1 λ3

=

0

conduce a la soluci´on
λ1 = 0 λ2 = 0

λ3 = 0,

2
y, por lo tanto, BR
en, una base.
3 es linealmente independiente y es, tambi´
Finalmente considere
w3 = eˆ2 + 3 eˆ3

2

sustituyendo lacondici´on (6) se reduce a
w3 =

2
1
9
1
[2 w1 + w2 − 9 eˆ3 ] + 3 eˆ3 = w1 + w2 − eˆ3
7
7
7
7

Por lo tanto,

(7)

2
1
1
w1 + w2 − w3
9
9
9
dado por
eˆ3 =

3
Considere ahora el conjunto BR
3

(8)

3
BR
3 = {w1 , w2 , w3 }
3
es necesario probar que BR
en es una base. En primer lugar, por la ecuaci´on (8), eˆ3 ∈ [w1 , w2 , w3 ]
3 tambi´
3
3
por lo tanto BR3 es un conjunto generador, falta probar que BR...