algebra lineal

TECNOLOGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE HUIXQUILUCAN

Materia: Algebra Lineal

Profesor: Simeón Quevito Nava

Alumna: Camacho González Zaira

INGENIERIA CIVIL

Segundo Semestre

TRANSFORMACIONES LINEALES


INDICE
4 …Definición de transformación lineal y sus propiedades

7…Ejemplos de transformaciones lineales (reflexión dilatación contracción rotación)

13…Definición delnúcleo o kernel, e imagen de una transformación lineal
17…La matriz de una transformación lineal y representación matriolal de una transformación lineal
19…Transformaciones y sistemas de ecuaciones lineales
25…Algebra de las transformaciones lineales
26…Aplicaciones de las transformaciones lineales
31…Bibliografía







INTROCUCCION



Una transformación es un conjunto deoperaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector.
Los espacios vectoriales son conjuntos con una estructura adicional, al saber, sus elementos se pueden sumar y multiplicar por escalares del campo dado, conviene utilizar funciones que preserven dicha estructura. Estas funciones se llamaran transformaciones lineales y en el presente capitulo las estudiaremos. Más adelantemostraremos que las transformaciones lineales se pueden representar en términos de matrices, y viceversa.
Se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan las condiciones necesarias. Las transformaciones lineales ocurren con mucha frecuencia en el álgebra lineal y en otras ramas de las matemáticas, tienen una gran variedad deaplicaciones importantes. Las transformaciones lineales tienen gran aplicación en la física, la ingeniería y en diversas ramas de la matemática.
Estudiaremos las propiedades de las transformaciones lineales, sus diferentes tipos, así como la imagen, el núcleo, y como se desarrolla en las ecuaciones lineales.









Definición de transformaciones Lineal y sus propiedades
Definición. Unatransformación lineal de un espacio vectorial V en un espacio vectorial W es una función de V en W, T: V ® W, que es lineal, esto es para todo u,v Î V y todo a,b Î R verifica: T(au + bv) = aTu + bTv.
Es claro que esa condición es equivalente a que se verifiquen, para todo a Î R y todo u,v Î V, las dos condiciones: T(au) = aTu y T(u + v) = Tu + Tv.
En algunos textos se llamantransformaciones lineales las funciones lineales de un espacio vectorial V en sí mismo para distinguir el vector cero de V del vector cero de W y del número 0, se indicará con 0V el vector cero de V, y con 0W el vector cero de W.
Se observa que para toda transformación lineal de V en W, la imagen de 0V es 0W, pues:
T0V = T(00V) = 0T0V = 0W.
 
Para todo espacio V, la función identidad, I: V® V, que a todo vector v Î V le asocia el mismo vector v, es una transformación lineal de V en V. Se indicará esta transformación con la notación IV cuando sea necesario distinguirla de la función identidad en otro espacio vectorial. Dados dos espacios V y W, la función cero, 0: V ® W, en la que todo vector v Î V tiene por imagen el vector 0W, también es lineal.
Ejemplos de transformacioneslineales.
 1. Sea V un espacio de dimensión finita y sea { v1,...,vm } una base de V sobre R. Se define una función T: V ® R, asignando como imagen a cada vector v = a1v1 +...+ amvm el número a1. Esta es una transformación lineal porque si
v¢ = b1v1 +...+ bmvm, entonces:
T(av + bv¢) = T[(aa1 + bb1)v1 +...+ (aam + bbm)vm] =
aa1 + bb1 = aTv + bTv¢.
2. Usando la misma notación delejemplo anterior, la función T: V ® Rm definida por:
T(a1v1 +...+ amvm) = (a1,...,am), es lineal.
3. La derivación de polinomios, D: R[X] ® R[X], es lineal.
4. Sea V el espacio de los vectores de un plano y sea
w Î V un vector de norma 1. La función T: V ® V que a cada v Î V le asocia la proyección ortogonal de v sobre w es lineal, porque la proyección de v es Tv = (v.w)w y...