Algebra Lineal

GUIA DE EJERCICIOS T.L. y matrices

1.- Determine en cada uno de los siguientes casos si las funciones dadas son lineales:
a) T: IR2 ( IR3 definida por T(a,b) = ( a + b,2a - b)
b) T: IR2 ( M2x2 (IR) definida por T(a,b,c)= [pic]
c) T: P1(C) ( C2[pic] definida por T((a + bi) + (c + di)x) = (a - ci,b - di)
d) T: IR3 ( C2, T(a,b,c) = ( a - bi,a )
e) T:IR ( IR2 , T(a) = ( a,a)

2.- Sea T : IR2( IR definida por T ( x, y) = x + y + a. Demuestre que T es transformación lineal
si y sólo sí a = 0.

3.- Encuentre bases para el núcleo e imagen de las siguientes transformaciones lineales:

a) T1 : IR3 ( IR definidas por T1(a,b,c) = a + b - c
b) T2 : P2( IR) ( IR definida por T2 ( a + bx + cx2) = (a - b,c - a)c) T3: [pic] ( IR3 definida por T3(a + bi,c + di) = ( a, b, c - d)
d) T4: [pic] ( IR3 definida por T4 ( a + bi,c + di) = ( a, b, c - d).
e) T5: M2x2 ( IR) ( P2(IR) definida por T5 [pic] = a + b + (c + d)x + bx2.
f) T2 o T5, encuentre ( T2 o T5 )[pic] .

4 .- Determine KerT e ImT donde T es la transformación lineal de P2(IR) en IR3 definida por
T(1 - x) = (1,1,0) , T(x2) = ( 0,1,2) y T(1+x) = (0,0,1).

5.- a) Determinar la función lineal de IR3 en P2( IR) tal que T( 0,1,0 ) = x2 + x , T ( 1,1,0 ) = 1 – x ,
T ( 1 ,1 , 2) = x
b) Encontrar T ( 1 – i , -i ) donde T es la función lineal de C2 sobre IR en IR3 tal que
T ( 1,0) = x2 , T ( 0,1) = 1 – x , T(i , 0) = 1 + x , T ( 0 , i ) = 3 – 2x

6.- Encuentre T( 2 + i,-i ) donde T es la transformación lineal de C2 en IR3 definida por
T(0,1) = ( 1,1,0) , T(1,0) = (0,0,0) , T(1 - i, 0) = (0,1,1) , T( i, 1) = (2,0,1).

7.- Sean V , W espacios vectoriales sobre IR , { v1, v2 , v3 , v4 } una base de V y
{ w1 , w2 , w3 } una base de W . Sea T una función lineal de V en W definida por:
T( v1 ) = w1 + w2 , T ( v2) = 3w1 – w3 , T ( v3) = 2w1 –w2 + w3 , T (v4) = w3
a) Determine T (v1-2v2 + v3)
b) Determine bases para Ker T e Im T .


8.- a) Sean V ; W espacios vectoriales de dimensión finita. Sea S ( V demuestre que existe
T: V ( W transformación lineal tal que KerT = S
b) Aplique el resultado anterior para construir T: P2(IR) ( IR4 transformación lineal tal que
Ker T = .

9.- Encuentre unoperador lineal T sobre IR4 tal que Ker T = Im T.

10.- Demuestre que no existe un operador lineal sobre IR3 tal que Ker T = Im T.

11.- Sea S = { ( x,y,z) ( IR3/ z = 5x + 3y} . Encuentre un operador lineal sobre IR3 tal que
Im T ( S y Ker T = S.

12.- Sean V, W espacios vectoriales sobre un cuerpo K y T: V ( W una transformación lineal.
Demuestre
a) Si dim V >dim W entonces no es inyectiva.
b) Si dim V < dim W entonces T no es inyectiva.

13.- Sean V y W espacios vectoriales sobre un cuerpo K, {v1,......,vn} base de V y {w1,.......,wn}
base de W. Sea T la transformación lineal definida de la siguiente manera:
T(vi) = w1 - wi ( i ( {1,.....,n} . Encuentre bases para Ker T e Im T.



14.- Sea S= {(x,y,z) ( IR3/ x= y} Demuestre que S ( IR2 y encuentre un isomorfismo de S sobre
IR2.

15.- Encontrar la matriz de las siguientes funciones lineales de IR3 en IR2 respecto de las bases
canónicas de IR3 y IR2 respectivamente.
a) T ( x, y, z)= ( 2x – 3y , x + 2y)
b) T (x, y, z)= ( x , 2x – y )

16.- Considere la función lineal T: P2 ( IR) ( P1(IR) definida por:
T ( a0 + a1x + a2x2)= 3a0 + ( 2a1 - a2)x.
Sean C1, C2 las bases canónicas de P2(IR) y P1(IR) respectivamente.
a) Encuentre [ T][pic]
b) Encuentre [ T]( [pic]C[pic] donde (2= { 2x , x – 1, x2}
c) Encuentre [ T] C[pic]([pic] donde (1 = { 3x + 1, x + 1 }
d) Encuentre [ T ] ( [pic]([pic] donde (1, (2 son las bases de ( c ) y ( d ).

17.- Sean V y W espacios vectoriales sobre un cuerpo K,...