ALGEBRA LINEAL

PROBLEMAS RESUELTOS
ÁLGEBRA LINEAL

Tema 3. Transformaciones Lineales

TEMA: TRANSFORMACIÓN LINEAL, NÚCLEO Y RECORRIDO
Problema 1: Sean P≤ 2 el espacio vectorial real de los polinomios de grado menor o igual
a dos con coeficientes reales y la transformación F : 3 → P≤ 2 definida por:
donde v1 = x 2 + 1 ; v2 = 3x − 1 ∈ P≤ 2 ∀ a, b, c ∈

F (a, b, c) = (a + b)v1 − cv2 ;

Determinar si Fes lineal.
SOLUCIÓN:
• Se define la función sustituyendo los valores de v1 y v2 dados:
F (a, b, c) = (a + b)( x 2 + 1) − c(3 x − 1) = (a + b) x 2 − 3cx + (a + b + c)
F (a, b, c) = (a + b) x 2 − 3cx + (a + b + c)

Nueva función

• Se verifican los dos axiomas para que una función sea una transformación lineal:
1.- Superposición: F (u + v) = F (u ) + F (v) :
Sean u = (a1 , b1 , c1 )

→F(u) = (a1 +b1)x2 −3c1x+(a1 +b1 +c1)

v = (a2 , b2 , c2 )

→

F(v) = (a2 +b2)x2 −3c2x+(a2 +b2 +c2)

u + v = (a1 + a2 , b1 + b2 , c1 + c2 )

F (u + v) = (a1 +a2 +b1 +b2)x2 −3(c1 +c2)x+(a1 +a2 +b1 +b2 +c1 +c2)

• Sustituyendo en el axioma F (u + v) = F (u ) + F (v) :
(a1 +a2 +b1 +b2)x2 −3(c1 +c2)x+(a1 +a2 +b1 +b2 +c1 +c2) = ⎡(a1 +b1)x2 −3c1x+(a1 +b1 +c1)⎤ +⎡(a2 +b2)x2 −3c2x+(a2 +b2+c2)⎤
⎣
⎦ ⎣
⎦

(a1 +a2 +b1 +b2)x2 −3(c1 +c2)x +(a1 + a2 +b1 +b2 +c1 +c2) = (a1 + a2 +b1 +b2)x2 −3(c1 +c2 )x +(a1 + a2 +b1 +b2 + c1 + c2 )

2.- Homogeneidad: F (αu ) = α ⋅ F (u ) :
Sea αu = (αa1 , αb1 , αc1 )

→

Cumple

F (αu ) = (αa1 + αb1 ) x 2 − 3αc1 x + (αa1 + αb1 + αc1 )

• Sustituyendo en el axioma F (αu ) = α ⋅ F (u ) :
(αa1 + αb1 ) x 2 − 3αc1 x + (αa1 + αb1 + αc1 ) = α ⎡( a1+ b1 ) x 2 − 3c1 x + (a1 + b1 + c1 ) ⎤
⎣
⎦
α ⎡( a1 + b1 ) x 2 − 3c1 x + (a1 + b1 + c1 ) ⎤ = α ⎡( a1 + b1 ) x 2 − 3c1 x + (a1 + b1 + c1 ) ⎤
⎣
⎦
⎣
⎦

• Por tanto, la transformación F sí es lineal.
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS
FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM

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Cumple
COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS

Profra. Norma Patricia López Acosta

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Tema 3.Transformaciones Lineales
Problema 2: Sea la transformación S : P≤ 2 → R 2 , definida por:

S (ax 2 + bx + c) = (a + b, c)
Determinar:
(a) Si S es una transformación lineal
(b) El núcleo de la transformación S
(c) El recorrido de la transformación S
(d) Verificar dim P≤ 2 = dim N ( S ) + dim S ( P≤2 )
SOLUCIÓN:
(a) Para determinar si S es lineal, se verifican los dos axiomas siguientes:1.- Superposición:

(

) ( ) ( )
→
S ( v ) = ( a + b ,c )
→
S ( v ) = ( a + b ,c )

S v1 + v 2 = S v1 + S v 2
Sean: v1 = a1 x 2 + b1 x + c1
v 2 = a 2 x 2 + b2 x + c 2

1

1

2

1

2

2

1

2

v 1 + v 2 = ( a1 + a 2 ) x 2 + ( b1 + b 2 ) x + ( c1 + c 2 )

● Sustituyendo en el axioma, se tiene:

(

)

( ) ( )

S v1 + v 2 = ( a1 + a 2 + b1 + b2 ,c1 + c 2 ) =S v1 + S v 2

( )

← Cumple

( )
S ( αv ) = ( αa + αb ,αc ) = α ⋅ S ( v )

2.- Homogeneidad: S αv1 = α ⋅ S v1
Sea αv1 = αa1 x 2 + αb1 x + αc1 →

1

1

1

1

1

← Cumple

• Por tanto, la transformación S sí es lineal.

{

()

}

(b) El núcleo N(S) de la transformación se define como N ( S ) = v ∈ P≤2 S v = 0 R 2 .

● Se propone al vector v = ax 2 + bx + c ∈ P≤ 2 .● Se iguala la imagen de v con el vector cero del codominio:

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() (

)

S v = S ax 2 + bx + c = ( a + b, c ) = ( 0,0 )

a + b = 0;

● Igualando términos en los vectoresanteriores:

c=0

● De donde a = −b y c = 0 .
● Por tanto, el vector propuesto se transforma en: v = ax 2 + bx + c = −bx 2 + bx .

{

● Finalmente, el núcleo es: N ( S ) = −bx 2 + bx b ∈ R}
dim N (S ) = 1

(c) El recorrido de la transformación se determina a partir de la base canónica del dominio
P≤2 = ax 2 + b x + c a,b,c ∈ R} :

{

{

Bcanonica de P≤ 2 = x 2 ,x,1}

● Se obtienen...