Algebra lineal

´ Algebra I - Curso 2005/06 - Grupos M1 y M2

Tema 4: ESPACIOS VECTORIALES

1.

Definici´n, propiedades y ejemplos. o

El concepto de espacio vectorial es sin duda uno de los m´s importantes de esta asignatura y del a ´ Algebra Lineal. El espacio vectorial es una estructura algebraica que generaliza, hasta el mayor nivel de abstracci´n, o la idea de los vectores geom´tricos del plano y elespacio eucl´ e ıdeos ordinarios, as´ como las magnitudes ı vectoriales que aparecen en F´ ısica; esencialmente, son conjuntos cuyos elementos se pueden sumar entre s´ y multiplicar por n´meros. Son numeros´ ı, u ımos y muy variados, como ya puede verse desde los primeros ejemplos, los espacios vectoriales que aparecen de manera natural en distintas ramas de las matem´ticas. a Todo espaciovectorial lleva siempre asociado un conjunto con estructura de cuerpo, cuyos elementos llamaremos escalares, que jugar´n el papel de n´meros. Los elementos del espacio vectorial a u ser´n los vectores. a Nota.- En la siguiente definici´n, utilizamos el mismo s´ o ımbolo “+”para denotar la suma del grupo abeliano E (“suma de vectores”) y la suma del cuerpo K. An´logamente, empleamos el s´ a ımbolo “·”tantopara denotar el producto en el cuerpo K (“producto de escalares”) como para denotar la ley externa en E (“producto de escalar por vector”).

Definici´n.- Sean (E, +) un grupo abeliano y (K, +, ·) un cuerpo conmutativo; sea o · : K × E → E una ley externa, es decir, ∀λ ∈ K, ∀u ∈ E, (λ, u) → λ · u ∈ E. Se dice que la cuaterna (E, K, +, ·) tiene estructura de espacio vectorial, o bien que E es unespacio vectorial sobre K si se verifican: 1. ∀u ∈ E, ∀λ, µ ∈ K, (λ + µ) · u = λ · u + µ · u. 2. ∀u, v ∈ E, ∀λ ∈ K, λ · (u + v) = λ · u + λ · v. 3. ∀u ∈ E, ∀λ, µ ∈ K, (λµ) · u = λ · (µ · u). 4. ∀u ∈ E, 1 · u = u (1 representa la unidad del cuerpo K).

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´ Algebra I - Tema 4: Espacios vectoriales Notaci´n y terminolog´ o ıa:

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Los elementos del espacio E se denominan vectores, mientrasque los del cuerpo K se llaman escalares. El s´ ımbolo “·”del producto de escalar por vector (as´ como el del producto de escalares) a ı menudo se omite: λu := λ · u. Cuando el cuerpo de escalares sobre el que se define un espacio vectorial E es el de los n´meros u reales, suele decirse que E es un espacio vectorial real; cuando es el de los complejos, E se llama un espacio vectorial complejo.Propiedades: A partir de la definici´n, se deducen inmediatamente las siguientes: o ∀u ∈ E, 0 · u = 0. Sean λ ∈ K y u ∈ E; λu = 0 ⇔ λ = 0 ∨ u = 0. ∀λ ∈ K, ∀u ∈ E, (−λ)u = λ(−u) = −(λu). Ejemplos: El plano eucl´ ıdeo R2 y el espacio eucl´ ıdeo R3 ordinarios, constituyen espacios vectoriales sobre R con la suma de vectores y el producto de escalar por vector habituales. Estos espacios son casosparticulares del siguiente: En general, dados un cuerpo K y un entero positivo n, el producto cartesiano Kn , con la suma de vectores y el producto de escalar por vector, constituye un espacio vectorial sobre K. El conjunto K[x] de los polinomios con coeficientes en un cuerpo K, constituye un espacio vectorial sobre K. Asimismo, dado n ∈ N, el conjunto Kn [x] de los polinomios de grado menor o igual que n,tambi´n es un espacio vectorial (diremos que es un subespacio vectorial de K[x]). e Dados n, m enteros positivos, el conjunto Km×n de las matrices con elementos en K, con la suma de matrices y el producto de escalar por matriz, es un espacio vectorial sobre el cuerpo K. El conjunto F(R) de las funciones reales de variable real, con la suma de funciones y el producto de n´mero por funci´n, es unespacio vectorial sobre R. u o Tambi´n son espacios vectoriales reales C(R) (funciones continuas sobre la recta real) y C ([a, b]), e siendo [a, b] un intervalo de la recta real En general, dados cualquier conjunto X y un cuerpo K, el conjunto F(X, K) = {f : X → K} de las aplicaciones de X a K, se definen la suma de aplicaciones: ∀x ∈ X, (f + g)(x) := f (x) + g(x), y, para cada α ∈ K, el producto de...