Algebra Lineal


SUMA DE MATRICES Y APLICACIONES LINEALES

ROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES.
A partir del ejercicio anterior se puede generalizar afirmando que:
Dadas las matrices  se verifican las siguientes propiedades respecto de la suma de matrices: 
 
a) Propiedad conmutativa: A+B = B+A
b) Propiedad asociativa: (A+B)+C=A+(B+C)
c) Elemento neutro: Existe una matriz nula O tal que O+A=A+O=A
d)Elemento opuesto: Toda matriz tiene una matriz opuesta, de tal forma que si  donde A+(-A)=O (matriz nula de orden mxn).

Veamos cuál es la relación que guarda esta operación con sus matrices asociadas. 
  
 

Para ello consideremos en DERIVE dos aplicaciones lineales sobre los mismos espacios iniciales y finales, por ejemplo, consideremos las aplicaciones si definimos la aplicación h = f+g,en DERIVE obtendremos 
 


luego la aplicación h vendría definida por 
 


Si  se define la matriz suma A+B=C como la matriz C=(aij+bij) para todo . 
Esta operación está implementada en DERIVE de tal forma que dadas dos matrices A,B del mismo orden mxn, su suma se obtiene editando la expresión A+B.
Así en el ejemplo que tenemos si efectuamos 
 

se obtiene la matriz suma, que secorresponde con la matriz asociada a la suma de aplicaciones lineales. 
2) PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ. PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA APLICACIÓN LINEAL
    Consideremos las dos aplicaciones lineales que manipulamos en el apartado anterior con DERIVE 
 


Recordemos que sus matrices asociadas venian dadas por 
 Ejemplo:



Supongamos que construimos la aplicación lineal 3f,entonces esta nueva aplicación vendría dada por 
 

Su matriz asociada se obtiene como en casos anteriores calculando las imágenes de los vectores de la base canónica 
 

Por tanto la matriz asociada de esta aplicación lineal 3f es 


si la comparamos con la matriz asociada a f 


Se puede observar que cada elemento de la matriz A asociada a f, ha quedado multiplicado por 3. Así pues elproducto de un escalar por una aplicación lineal, lleva asociada una operación con matrices que es el producto de un escalar por una matriz, que definimos de la siguiente forma: 
  

Definición: PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ
PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE MATRICES.
1. El producto de matrices NO ES CONMUTATIVO:
 
2. Propiedad asociativa 
Si  
  
3. Propiedad distributiva respecto de lasuma.
 
Si  
  
4. Existencia de matrices identidad Im e Ip tales que para todo 


5. El producto de una matriz  por la matriz nula  es una matriz nula OΠMmxp
6.

Sea A una matriz de orden mxn, y sea k un escalar, perteneciente por ejemplo a los números reales. Entonces al producto de un escalar por una matriz da como resultado una matriz C tal que: C =(k aij) para todo  
Tal comodefinimos la composición de aplicaciones, vamos a estudiar cuál es la operación matricial que dicha composición genera. Para ello consideremos dos aplicaciones lineales componibles, por ejemplo, tomemos las aplicaciones definidas en DERIVE por

La componsición de estas dos aplicaciones (gof) se obtendrá aplicando g(f(u)) es decir 
 

Renombremos a dicha aplicación por la aplicación lineal h,es decir h(u)=g(g(u)): 
 


Consideremos ahora las matrices asociadas a las aplicaciones lineales f y g:
La matriz asociada a la aplicación lineal f se obtiene efectuando con DERIVE 
 

En cuyo caso la matriz asociada a f es: 
 

Por otro lado la matriz asociada a g se obtiene efectuando con DERIVE: 
 

en cuyo caso la matriz asociada a g será 
 


Según esto, como hemosobtenido las matrices asociadas respecto a las bases canónicas, resulta que 
 


Hecho que se puede comprobar fácilmente en DERIVE 
 

Por otro lado resulta que 
 


como se observar al efectuar en DERIVE 
 

Por consiguiente 
 


es decir, que efectuando en DERIVE 
 

se obtiene el mismo resultado que realizando 
 

por tanto la operación B.A construirá la matriz asociada a la...