Algebra Lineal

VECTORES, RECTAS Y PLANOS.
VERSIÓN PRELIMINAR. MARZO 2011.

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Prof. Walter Mora F.,
Escuela de Matemática Instituto Tecnológico de Costa Rica. Marzo, 2011.

Contenido

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8

Vectores Operaciones Básicas Propiedades de los vectores Paralelismo,perpendicularidad, cosenos directores. Proyección ortogonal Producto Cruz en R3 Rectas y Planos en el espacio Planos. Ecuación vectorial, normal y cartesiana

1 3 5 11 12 15 19 22 29

Bibliografía

1.1

Vectores

A partir de la representación de R, como una recta numérica, los elementos ( a, b) ∈ R2 se asocian con puntos de un plano definido por dos rectas perpendiculares que al mismotiempo definen un sistema de coordenadas rectangulares donde la interseccón representa a (0, 0) y cada ( a, b) se asocia con un punto de coordenada a en la recta horizontal (eje X) y la coordenada b en la recta vertical (eje Y).

Figura 1.1

Punto ( a, b)

Analógamente, los elementos ( a, b, c) ∈ R3 se asocian con puntos en el espacio tridimensional definido con tres rectas mutuamenteperpendiculares. Estas rectas forman los ejes del sistema de coordenadas rectangulares (ejes X, Y y Z).

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Figura 1.2

Punto ( a, b, c)

Los vectores se pueden representar mediante segmentos de recta dirigidos, o flechas, en R2 y en R3 . La dirección de la flecha indica la dirección del vector y la longitud de la flecha determina su magnitud.
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Figura 1.3 Vector ( a, b)

Figura 1.4

Vector ( a, b, c)

Notación

→ → → Los vectores se denotarán con letras minúsculas con una flecha arriba tales como − , − , − . Los v y z puntos se denotarán con letras mayúsculas tales como A , B , C . En el contexto de los vectores, los números reales serán llamados escalares y se denotarán conletras minúsculas cursivas tales como α, β, k. → → → − Si el punto inicial de un vector − es A y el punto final es B , entonces − = AB v v − → El vector nulo se denota con 0 = (0, 0, · · · , 0)
Un vector en el Rn es un n−tuple ( x1 , x2 , · · · , xn ) con cada xi ∈ R. A xi se le llama componente i −ésima del vector.

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1.2
Igualdad

Operaciones Básicas

Dos vectores son iguales sitienen, en el mismo orden, los mismos componentes.

− → − = − si y sólo si v = w , v = w , · · · , v = w . → → tonces v w n n 2 1 1 2

Definición 1.1 Consideremos los vectores v = (v1 , v2 , · · · , vn ) ∈ Rn y w = (w1 , w2 , · · · , wn ) ∈ Rn , en-

− →

Ejemplo 1.

→ → → → Sea − = (1, 3, 4) y − = (3, 1, 4) , entonces − = − . v w v w
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4. 3. 2. 1. 1. 1.

w v

6. 5. 4. 3. 2. 2.

3.

4.

5.

6.

X

Suma y resta
La suma y resta de vectores en Rn se hace componente a componente.

Definición 1.2 Consideremos los vectores v = (v1 , v2 , · · · , vn ) ∈ Rn y w = (w1 , w2 , · · · , wn ) ∈ Rn .

− →

− →

− + − = (v + w , v + w , · · · , v + w ) → → v w n n 2 1 1 2 − − − = (v − w , v − w , · · · , v − w ) → → vw
1 1 2 2 n n

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Ejemplo 2.

→ → Sea − = (1, 3, 4) y − = (3, 1, 4) , entonces v w → → i.) − + − = (4, 4, 8) v w
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→ → ii.) − − − = (−2, 2, 0) v w
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Z 4.

w

v

-3 -2 . .

v-w
1. 2. 3. 4. 5. 6. Y

-1 0. . 1. 2. 3.

4. 5. 6. X

Multiplicación por un escalar
Unescalamiento de un vector, por un factor k, se logra multiplicando cada componente por el mismo número real k
Definición 1.3 Consideremos el vector v = (v1 , v2 , · · · , vn ) ∈ Rn y el escalar k ∈ R, entonces

− →

→ k − = ( k v1 , k v2 , · · · , k v n ) v

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Ejemplo 3.
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Z

→ Sea − = (1, 3, 4) entonces v → 2− v
1 → √ − v 2

2v

=...