Algebra lineal

Sean V1,V2,…,Vn vectores en un espacio vectorial V, entonces cualquier vector de la forma a1V1+a2V2+…+anVn donde a1,a2,…,an son escalares se denomina una conbinacion lineal de V1,V2,…,Vn.
Una combinación lineal en M23

Conjunto generador.

Se dice que los vectores V1, V2, …, Vn de un espacio vectorial V generan a V si todo vector en V se puede escribir como una combinación lineal de losmismo.

Cuatro vectores que generan a M22



Espacio generado por un conjunto de vectores.

Sean V1, V2, …, Vk, k vectores de un espacio vectorial V. el espacio generado por { V1, V2, …, Vk} es el conjunto de combinaciones lineales V1, V2, …, Vk. Es decirdonde a1, a2, …, ak, son escalares arbitrarios.

Teorema: si V1, V2, …, Vk son vectores en un espacio vectorial V, entonces gen{ V1, V2,…, Vk} es un subespacio de V.

Ejemplo: el espacio generado por dos vectores en R3

Sea V1=(2,-1,4) y V2=(4,1,6). Entonces H=gen{v1, v2}={ V: V=a1(2,-1,4)+a2(4,1,6)}. ¿Cuál es la apariencia de H? si v=(x, y,z)ÎH, entonces tiene x=2a1+4a2, y=-a1+a2 y z=4a1+6a2.




Independencia Lineal
En el estudio del algebra lineal, una de las ideas centrales es la de dependencia o independencia linealde los vectores. A continuación se define el significado de independencia lineal y se muestra su relación con la teoría de sistemas homogéneos de ecuaciones y determinantes.


Existe una relación espacial entre los vectores , se puede apreciar que V2=2V1; o si se escribe esta ecuación de otra manera. 2 V1- V2=0.

En otras palabras, el vector cero se puede escribir como una combinación notrivial de V1 y V2 (es decir, donde los coeficientes en la combinación lineal no son ambos cero). ¿Qué tienen de especial los vectores?

E sencillo verificar que V3=3V1+2 V2; rescribiendo esto se obtiene 3 V1+2 V2- V3=0

En cada caso, se dice que los vectores son linealmente dependientes.

Definición: sean V1, V2, …, Vn vectores en un espacio vectorial V. entonces se dice que los vectores sonlinealmente dependientes si existen n escalares c1, c2, …, cn no todos ceros tales que c1V1 +c2 V2…+cn Vn=0

V1, V2, .., Vn son linealmente independientes si la ecuación c1 V1+c2V2+…+cnVn=0 se cumple únicamente para c1=c2=…=cn=0.
Teorema: dependencia e independencia lineal

Dos vectores en un espacio vectorial son linealmente dependientes si y solo si uno de ellos es un múltiplo escalar delotro.

Ejemplo:


Base: Un conjunto finito de vectores { V1 , V2,…, Vn } una base para un espacio vectorial V si
 
Asi pues,
“Todo conjunto de n vectores linealmente independiente en Rn es una base en Rn.”
En Rn se define 

Como los términos e, son las columnas d una matriz identidad (que tiene determinante 1), { e1, e2, … en } es linealmente independiente y, por lo tanto, constituyeuna base en Rn. Esta base especial se denomina base canoníca en Rn. Ahora se encontraran bases para otros espacios.

Teorema 1: si { V1 , V2,…, Vn } es una base para V y si V ϵV, entonces existe un conjunto único de escalares c1,c2,…cn tales que V =c1V1,c2V2,…,cnVn
Teorema 2: si {u1,u2,…,un} y { V1 , V2,…, Vn }  son bases en un espacio vectorial V poseen el mismo número de vectores.
DimensiónSi el espacio vectorial V tiene una base con un número finito de elementos, entonces la dimensión de V es el numero de vectores en todas las bases y V se denomina espacio vectorial de dimensión finita. De otra manera, V se denomina espacio vectorial de dimensión infinita. Si V={0}, entonces se dice que V tiene dimensión cero.
Notación. Se simboliza la dimensión de V como dim V.
Teorema 3: supongaque dim V=n. u1,u2,…,un es un conjunto de m vectores linealmente independientes en V, entonces m≤n.
Teorema 4: sea H un subespacio de un espacio vectorial V de dimensión finita. entonces H es finito-dimensional y dimH < dim V
Demostración: Sea dim V =n. cualquier conjunto de vectores en H linealmente independientes lo es también en V. Por el teorema 3, cualquier conjunto linealmente...