Algebra lineal

Resolver los siete problemas que se presentan a continuación, describiendo el proceso paso por paso:
1. Utilice el método de eliminación de Gauss – Jordán, para encontrar todas las soluciones (si existen) de los siguientes sistemas lineales:

1.1. ■(x&-4y&-7z=1@5x&-7y&-z=5@-4x&+y&+6z=-4)

⟨■(1&-4&-7@5&-7&-1@-4&1&6)│■(1@5@-4)⟩ ■(@-5 f_1@4f_1+f_3 )+f_2⟨■(1&-4&-7@0&13&34@0&-15&-22)│■(1@0@0)⟩(1⁄13) f_2

⟨■(1&-4&-7@0&1&34⁄13@0&-15&-22)│■(1@0@0)⟩ ■(4 f_2+f_1@@15 f_2+f_3 )⟨■(1&0&45⁄13@0&1&34⁄13@0&0&224⁄13)│■(1@0@0)⟩ ■(@@13⁄224)

⟨■(1&0&45⁄13@0&1&34⁄13@0&0&1)│■(1@0@0)⟩ ■((-45)⁄(13 f_3+f_1 )@(-34)⁄13 f_3+f_2@) ⟨■(1&0&0@0&1&0@0&0&1)│■(1@0@0)⟩ por tanto {█(x=1@y=0@z=0)┤



1.2. ■(3x&-4y&-7z=1@5x&-7y&-z=-18)

⟨■(3&-4&-7@5&-7&-1)│■(11@-18)⟩ ■(1⁄3f_1@)⟨■(1&(-4)⁄3&(-7)⁄3@5&7&-1)│■(11⁄3@-18)⟩ ■(@-5 f_1+f_2 )

⟨■(1&(-4)⁄3&(-7)⁄3@0&(-1)⁄3&32⁄3)│■(11⁄3@(-109)⁄3)⟩ ■(@-3 f_2 )⟨■(1&(-4)⁄3&(-7)⁄3@0&1&-32)│■(11⁄3@109)⟩ ■(@4⁄3 f_2+f_1 )

⟨■(1&0&-45@0&1&-32)│■(149@109)⟩ por tanto {█(x-45z=149@y-32z=109)┤







1.3. ■(x&-4y&-7z&+4w=-1@5x&-7y&-z&-5w=-8@-4x&+y&+6z&-w=-7@6x&-y&-z&-w=-2)

⟨■(1&-4&-7&4@5&-7&-1&-5@-4&1&6&-1@6&-1&-1&-1)│■(-11@-8@-7@-2)⟩ ■(@-5 f_1+f_2@4 f_1+f_3@-6 f_1+f_4 )⟨■(1&-4&-7&4@0&13&34&-25@0&-15&-22&15@0&23&41&-25)│■(-11@47@-51@64)⟩ ■(@1⁄13 f_2@@)

⟨■(1&-4&-7&4@0&1&34⁄13&25⁄13@0&-15&-22&15@0&23&41&-25)│■(-11@47⁄13@-51@64)⟩ ■(4 f_2+f_1@@15 f_2+f_3@-23 f_2+f_4 )

⟨■(1&0&45⁄13&(-48)⁄13@0&1&34⁄13&(-25)⁄13@0&0&224⁄13&(-180)⁄13@0&0&(-249)⁄13&250⁄13)│■(45⁄13@47⁄13@42⁄13@(-224)⁄13)⟩ ■(@@(13⁄224) f_3@)⟨■(1&0&45⁄13&(-48)⁄13@0&1&34⁄13&(-25)⁄13@0&0&1&(-45)⁄56@0&0&(-249)⁄13&250⁄13)│■(45⁄13@47⁄13@0,1875@(-249)⁄13)⟩ ■((-45)⁄13 f_3+f_1@(-34)⁄13 f_3+f_2@@249⁄13 f_3+f_4 )

⟨■(1&0&0&(-51)⁄56@0&1&0&5⁄28@0&0&1&(-45)⁄56@0&0&0&215⁄56)│■(2,8125@3,125@0,1875@-15,5625)⟩ ■(@@@56⁄215 f_4 )

⟨■(1&0&0&(-51)⁄56@0&1&0&5⁄28@0&0&1&(-45)⁄56@0&0&0&1)│■(2,8125@3,125@0,1875@(-1743)⁄430)⟩ ■(51⁄56 f_4+f_1@(-5)⁄28 f_4+f_2@45⁄56 f_4+f_3@)⟨■(1&0&0&0@0&1&0&0@0&0&1&0@0&0&0&1)│■((-189)⁄215@331⁄86@(-132)⁄43@(-1743)⁄430)⟩ Por tanto {█(x=(-189)⁄215@y=331⁄86@z=(-132)⁄43@w=(-1743)⁄430)┤



1.4. ■(x&-4y=-3@5x&-7y=-2@-4x&+16y=-4)

⟨■(1&-4@5&-7@-4&16)│■(-3@-2@-4)⟩ ■(@-5f_1+f_2@4 f_1+f_3 ) ⟨■(1&-4@0&13@0&0)│■(-3@13@-16)⟩ 1⁄13 f_2 ⟨■(1&-4@0&1@0&0)│■(-3@1@-16)⟩ ■(4 f_2+f_1@@)

⟨■(1&0@0&1@0&0)│■(1@1@-16)⟩ ■(@@0 ≠ -16) Por tanto el sistema no tiene solución.


2. Resuelva el siguientesistema lineal, empleando para ello la factorización .


U_0 (■(1&-4&-7&4@5&-7&-1&-5@-4&1&6&-1@6&-1&-1&-1)) ■(@-5 f_1+f_2@4 f_1+f_3@-6 f_1+f_4 ) →U_1 (■(1&-4&-7&4@0&13&34&-25@0&-15&-22&15@0&23&41&-25)) ■(@@15/13 f_2+f_3@(-23)/13 f_2+f_4 )

→U_2 (■(1&-4&-7&4@0&13&34&-25@0&0&224⁄13&(-180)⁄13@0&0&(-249)⁄13&250⁄13)) ■(@@@249/224 f_3+f_4 )

→U_3(■(1&-4&-7&4@0&13&34&-25@0&0&224⁄13&(-180)⁄13@0&0&0&215⁄56))

L_0 (■(1&0&0&0@0&1&0&0@0&0&1&0@0&0&0&1))→L_1 (■(1&0&0&0@5&1&0&0@-4&0&1&0@6&0&0&1))→L_2 (■(1&0&0&0@5&1&0&0@-4&(-15)⁄13&1&0@6&23⁄13&0&1))

→L_3 (■(1&0&0&0@5&1&0&0@-4&(-15)⁄13&1&0@6&23⁄13&(-249)⁄224&1))

Resolvemos L_y=B
(■(1&0&0&0@5&1&0&0@-4&(-15)⁄13&1&0@6&23⁄13&(-249)⁄224&1)).(■(y_1@y_2@y_3@y_4 ))= (■(-11@-8@-7@-2))

{■(y_1=-11@5y_1+y_2=-8@-4y_1-15⁄13y_2+y_3=-7@6y_1+23⁄13 y_2-249/224 y_3+y_4=-2)┤ y_1= -11


5(-11)+y_2=-8
-55+y_2=-8
y_2=55-8
y_2=47

-4(11) (-15)/13 (47)+y_3=-7
44-705/13 +y_3=-7
(-133)/13 +y_3=-7
y_3=133/13-7
y_3=42/13

6(-11)+23/13 (47)-249/224 (42/13)+y_4=-2

-66+1081/13-747/208 +y_4=-2

217/16+ y_4=-2

y_4=-2-217/16

y_4=(-249)/16

Resolvemos U.X=Y(■(1&-4&-7&4@0&13&34&-25@0&0&224⁄13&(-180)⁄13@0&0&0&215⁄56))(■(x_1@x_2@x_3@x_4 ))=(■(-11@47@42⁄13@(-249)⁄16))

{■(x_1-4x_2-〖7x〗_3+4x_4=-11@13x_2+〖34x〗_3-25x_4=47@224/13 x_3-180/13 x_4=42/13@215/56 x_4=(-249)/16) ┤ ■(x_1=x@x_2=y@x_3=z@x_4=w)

215/56 x_4=(-249)/16

x_4=((-249)/16)/(215/56)=(-1743)/430

224/13 x_3-180/13 ((-743)/430)=42/13
224/13 x_3+31374/559=42/13...