Algebra lineal

4.5 Espacio vectorial con producto interno y sus propiedades.
Un espacio vectorial complejo V se denomina espacio con producto interno si para cada par ordenado de vectores u y v en V, existe unnumero complejo único (u,v), denominado producto interno de u y v, tal que si u, v y w están en V y αϵC, entonces

 La barra es las condiciones v) y vii) denota el conjugado complejo.
Nota. Si (u,v)es real, entonces (u,v)=(u,v) y se puede eliminar la barra en v).

EJEMPLO: producto interno de dos vectores en C3
En C3 sean x=(1+i, -3, 4-3i) y y=(2-i, -i, 2+i). entonces

Sea V un espacio conproducto interno y suponga que u y v están en V. entonces





Nota 1. Aquí se usa la doble barra en lugar de una sola para evitar confusión con el valor absoluto. Por ejemplo ǁsen tǁ denota lanorma de sen t como un “vector” en C[0, 2π] mientras que |sen t| denota el valor absoluto de la función sen t.
Nota 2. La ecuación anterior tiene sentido ya que (u, u)≥0.

EJEMPLO: dos vectoresortogonales en C2
En C2 los vectores (3,-i) y (2,6i) son ortogonales porque

Conjunto ortonormal
El conjunto de vectores es un conjunto ortonormal en V siy
Si solo el primero se cumple, se dice queel conjunto es ortonormal.

TEOREMA: cualquier conjunto finito de vectores ortonormales diferentes de cero en un espacio con producto interno es linealmente independiente.

TEOREMA: cualquierconjunto finito linealmente independiente en un espacio con producto interno se puede convertir en un conjunto ortonormal mediante el proceso de Gram-Schmidt. En particular, cualquier espacio con productointerno tiene una base ortonormal.

Proyección ortogonal
Sea H un subespacio del espacio con producto interno V con base ortonormal
 Si vϵV, entonces la proyección ortonormal de v sobre Hdenotada por proyHv esta dada por (6)

Las demostraciones de los siguientes teoremas son idénticas a sus contrapartes en Rn.
TEOREMA: sea H un subespacio de dimensión finita con producto interno V....