Algebra Lineal

Introducción a las transformaciones lineales
Una función es una regla que asigna a cada elemento de un conjunto exactamente un elemento de otro conjunto. Las funciones se emplean en muchas áreas de las matemáticas y son importantes en las aplicaciones para describir la relación de una variable con otra, por ejemplo, la altura que alcanza un proyectil es una función del tiempo, el costo total deproducción de un producto es una función del número de artículos, y así sucesivamente. En esta sección se analiza una clase importante de funciones entre espacios vectoriales denominados transformaciones lineales.
Definición: una transformación T de Rn en Rm, que se denota T: Rn Rm, es una regla que se asigna a cada vector (u) en (Rn) un vector único (v) en (Rm).
Rn recibe elnombre de dominio de T y Rm es el condominio. Se representa esta relación mediante T (u) = v; v es la imagen de u bajo T. el conjunto de imágenes recibe el nombre de rango de T. el rango esta formado por Rm o una parte de este. Los términos aplicación o mapeo y una función también son sinónimos de transformación.
Por ejemplo, considera la transformación T: R3 R2, definida medianteT(x, y, z) = (2x, y – z)
El dominio de T es R3 y el condominio es R2. La imagen de cualquier vector de R3 se puede determinar usando la definición. Por ejemplo, la imagen del vector (1, 4, 2) se puede determinar estableciendo x = 1, y = 4 y z = 2. La imagen es (6, 4). Un espacio vectorial Rn posee dos operaciones definidas sobre el: la adición y la multiplicación por un escalar. Lastransformaciones entre espacios vectoriales con mayor importancia son aquellas que conservan estas estructuras lineales en el siguiente sentido.
Definición: sean (u) vectores Rn y sea (c) un escalar. Se dice que una transformación T:
Rn Rm es lineal si T (u + v) = T (u) + T (v)
T (cu) = cT (u)
Laprimera condición implica T transforma la suma de dos vectores en la suma de las imágenes de dichos vectores. La transformación de una suma es igual a la suma de las transformaciones. La segunda condición implica que T transforma la multiplicación de un vector por un escalar en la misma multiplicación del escalar por la imagen, la transformación de un escalar por un vector es igual que el escalarpor la transformación del vector. Por lo tanto, las operaciones de adición y multiplicación por un escalar se conservan bajo la transformación lineal.
Ejemplo: demuestre que la transformación T R2 R2 es lineal donde


T (x, y) = (x – y, 3x)


















Ahora se mostrara que toda matriz define una transformación que además, es lineal. Porejemplo, considere la matriz 2x3:










T (x) = Ax de R3 en R2, usando la multiplicación entre matrices de la siguiente manera.








Las imágenes de los vectores se pueden determinar utilizando valores adecuados de x, y, y z. por ejemplo, se tiene que:







Considere la transformación lineal T definida por la matriz A de 3x2 siguiente.Determine la imagen de un vector cualquiera bajo T, y utilice este resultado para determinar la imagen del vector dado x.





















Núcleo de una transformación lineal.
Se vio que una transformación lineal es una función de un espacio vectorial (dominio) en otro espacio vectorial (condominio). Hay dos espacios vectoriales llamados núcleo yrango relacionados con una transformación lineal. En esta sección se introducen y analizan las propiedades de estos espacios.
El teorema siguiente proporciona una propiedad importante de las transformaciones lineales. El teorema marca el camino para la introducción de los conceptos del núcleo y rango.
Teorema: sea T: U V una transformación lineal.
El conjunto de...