algebra lineal


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Preguntas del temario


Definición y origen de los números complejos

Los números complejos conforman un grupo de cifras resultantes de la suma entre un número real y uno de tipo imaginario. Un número real, de acuerdo a la definición, es aquel que puede ser expresado por un número entero (4, 15, 2686) o decimal (1,25; 38,1236; 29854,152). En cambio, un número imaginario es aquélcuyo cuadrado es negativo. El concepto de número imaginario fue desarrollado por Leonhard Euler en 1777, cuando le otorgó a v-1 el nombre de i (de “imaginario”).


Cabe resaltar que el cuerpo de cada número real está formado por pares ordenados (a, b). El primer componente (a) es la parte real, mientras que el segundo componente (b) es la parte imaginaria. Los números imaginarios puros sonaquellos que sólo están formados por la parte imaginaria (por lo tanto, a=0).
Los números complejos componen el denominado cuerpo complejo (C). Cuando el componente real a es identificado con el correspondiente complejo (a, 0), el cuerpo de estos números reales (R) se transforma en un subcuerpo de C. Por otra parte, C conforma un espacio vectorial de dos dimensiones sobre R. Esto demuestra que losnúmeros complejos no admiten la posibilidad de mantener un orden, a diferencia de los números reales.







Operaciones fundamentales

En la suma o adición de números se presentan los siguientes casos: sumar dos números con igual signo, sumar dos números de signo diferente y suma de varios números de signos diferentes.
a) Para sumar dos enteros con igual signo, se suman sus valores absolutos y alresultado se le antepone el signo común.
Ejemplos: (+3) + (+5) = +8 (-4) + (-8) = -12
(+12) + (+13) = +25 (-7) + (-16) = -23
b) Para sumar dos números de distinto signo, se restan sus valores absolutos y
A la diferencia se le antepone el signo del número que tenga el mayor valor absoluto. Ejemplos:
(+9) + (-4) = +5 (-15) + (+6) = -9 (-9) + (+4) = -5 (+15) + (-6) = +9
c) Para sumar varios enteros consigno diferente se procede de dos formas: ya sea
Sumando por separado los positivos y los negativos, restando después los valores absolutos de las dos sumas y a la diferencia se le antepone el signo de la suma de mayor valor absoluto; o bien, se suman los dos primeros sumandos, el resultado se suma con el tercero y así sucesivamente. Ejemplos:
1. (+3) + (-1) + (+4) + (-5) + (-9) = (+7) + (-15) = -82. (+5) + (-2) + (-6) + (+8) =
(+3) + (-6) + (+8) =
(-3) + (+8) = +5







Potencias de i modulo o valor absoluto.

Valor absoluto. El valor absoluto, módulo o magnitud de un número complejo z viene dado por la siguiente expresión: Si pensamos en z como un punto en el plano; podemos ver, por el teorema de Pitágoras, que el valor absoluto de un número complejo coincide con la distancia euclídeadesde el origen del plano. Si el complejo está escrito en forma polar z = r eiφ, entonces |z| = r. Podemos comprobar con facilidad estas tres importantes propiedades del valor absoluto para cualquier complejo z y w. Por definición, la función distancia queda como sigue d (z, w) = |z – w| y nos provee de un espacio métrico con los complejos gracias al que se puede hablar de límites y continuidad. Lasuma, la resta, la multiplicación y la división de complejos son operaciones continuas. Si no se dice lo contrario, se asume que ésta es la métrica usada en los números complejos.

Forma polar o exponencial
Forma polar:
Sean r y θ coordenadas polares del punto (x, y) que corresponde a un número complejo no nulo z = x + iy. Como
x = r cos θ e y = r sen θ
z puede ser expresado en forma polarcomo
z = r (cosθ + i senθ).
En análisis complejo, no se admiten r negativos; sin embargo, como en el Cálculo, θ tiene infinitos valores posibles, incluyendo valores negativos.

Forma exponencial:
La ecuación
eiθ = cos θ + i sen θ
Que define el símbolo eiθ, o exp (iθ), para todo valor real de θ, se conoce como fórmula de Euler. Si escribimos un número complejo no nulo en forma polar
z = r (cos θ...