algebra mat II

TEMA 1.- MATRICES

DEFINICIÓN DE MATRIZ

Se llama matriz de orden mxn, sobre el cuerpo de los números reales R, a una tabla rectangular de m filas y n columnas, formado por elementos de R.

IGUALDAD DE MATRICES

Se dice que dos matrices, y , son iguales si tienen el mismo orden y los términos que ocupan la misma fila y columna, en ambas, son iguales, es decir


ALGUNOS TIPOS DE MATRICESMatriz fila: Es aquella que sólo tiene una fila.

Matriz columna: Es aquella que sólo tiene una columna.

Matriz cuadrada: Es aquella que tiene igual número de filas que de columnas. El conjunto de todos los elementos de la forma de una matriz cuadrada, se llama diagonal principal, el conjunto de elementos que forman la otra diagonal del cuadrado se llama diagonal secundaria.

Matriz traspuesta:Dada una matriz A, se llama traspuesta de A, y se representa por , a la matriz que se obtiene cambiando filas por columnas


Matriz simétrica: Se llama así a toda matriz cuadrada tal que .

Matriz antisimétrica: Se llama así a toda matriz cuadrada tal que . Como consecuencia, la diagonal principal de una matriz antisimétrica está formada por ceros. Las matrices antisimétricas también se llamanhemisimétricas.

Matriz nula: Es aquella que todos sus elementos son cero.

Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada en la que todos los elementos no pertenecientes a la diagonal principal son cero.

Matriz escalar: Es una matriz diagonal con todos los elementos de la diagonal principal iguales.

Matriz unidad ó matriz identidad: Es una matriz escalar con los elementos de la diagonal principaliguales a uno, se representa por .

Matriz triangular: Es una matriz cuadrada en la que todos los elementos por encima (matriz triangular inferior) ó por debajo (matriz triangular superior) de la diagonal principal son cero.

ADICIÓN DE MATRICES

Se llama suma de las matrices y , ambas del mismo orden mxn, a otra matriz , del mismo orden, obtenida sumando los términos correspondientes de A y B queocupan en ambas la misma fila y la misma columna.


PRODUCTO DE UN NÚMERO REAL POR UNA MATRIZ

El producto de una matriz por un número rea k, es otra matriz , cuyos elementos se obtienen multiplicando cada elemento de la matriz A por el número k.



PRODUCTO DE MATRICES

Dadas dos matrices , de orden mxn y , de orden nxr, esto es, tales que el número de columnas de A sea igual al número defilas de B, se llama producto A . B a otra matriz , de orden mxr cuyo elemento genérico, , es igual a la suma de los productos de los elementos que ocupan la fila i-ésima de la matriz A por los correspondientes de la columna j-ésima de la matriz B.



PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE MATRICES

1. Propiedad asociativa A . ( B . C ) = ( A . B ) . C
2. En general, el producto de matrices no es conmutativo,.
3. Si A es una matriz cuadrada de orden n, se tiene: siendo la matriz unidad de orden n.
4. Dada una matriz A de orden n, no siempre existe una matriz B tal que
Si existe B, se dice que es la matriz inversa de A, y se designa por .
Dos matrices de orden n son inversas si su producto es la matriz unidad de orden n.
Una matriz cuadrada que posee inversa se dice que es inversible o regular;en caso contrario se dice que es singular.
5. Propiedad distributiva respecto a la suma.

RANGO DE UNA MATRIZ

Se llama rango de una matriz al mayor número de filas o columnas que no se pueden poner como combinación lineal de las demás, o sea, al mayor número de filas o columnas linealmente independientes.

CALCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ POR EL METODO DE GAUSS

Las transformaciones que dejanel rango de una matriz invariante son las siguientes:
1.- Si se permutan dos filas o dos columnas el rango no varía.
2.- Si se multiplica o divide una fila o columna de una matriz por un nº real no nulo, el rango no varía.
3.- Si a una fila o columna de una matriz se le suma o resta otra paralela, el rango no varía.
4.- El rango de una matriz no varía si se suprimen:
- Las filas o columnas...