ALGEBRA MATRICES

Que es una matriz ?
En matemáticas, una matriz es un arreglo bidimensional de números, y en su mayor generalidad de elementos de un anillo. Las matrices se usan generalmente para describir sistemas de ecuaciones lineales, sistemas de ecuaciones diferenciales o representar una aplicación lineal (dada una base). Las matrices se describen en el campo de la teoría de matrices.

Las matrices seutilizan para múltiples aplicaciones y sirven, en particular, para representar los coeficientes de los sistemas de ecuaciones lineales o para representar las aplicaciones lineales; en este último caso las matrices desempeñan el mismo papel que los datos de un vector para las aplicaciones lineales.

Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que también las hace un conceptoclave en el campo del álgebra lineal.


Suma de matrices
Dadas dos matrices de la misma dimensión, A = (aij) y B = (bij), se define la matriz suma como:
A + B = (aij + bij)
La matriz suma se obtiene sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma posición.
Ejemplo

Propiedades de la suma de matrices
1.  Interna
La suma de dos matrices de orden m x n es otra matrizdimensión m x n.
2.  Asociativa
A + (B + C) = (A + B) + C
3.  Elemento neutro
A + 0 = A
Donde O es la matriz nula de la misma dimensión que la matriz A.
4.  Elemento opuesto
A + (−A) = O
La matriz opuesta es aquella en que todos los elementos están cambiados de signo.
5.  Conmutativa
A + B = B + A


Producto de un escalar por una matriz
Dada una matriz A = (aij) y un número real k , se defineel producto de un número real por una matriz: a la matriz de la misma dimensión que A, en la que cada elemento está multiplicado por k.
k · A = (k · aij)
Ejemplo

Propiedades
1  a · (b · A) = (a · b) · A A Mmxn , a, b
2  a · (A + B) = a · A + a · BA, B Mmxn , a
3  (a + b) · A = a · A + b · A A Mmxn , a, b
4 1 · A = A A Mmxn

Matrices producto
Dos matrices A y B se dicenmultiplicables si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B.
Am x n x Bn x p = Cm x p
El elemento cij de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos.
Ejemplo

Propiedades del producto de matrices
1  Asociativa:
A · (B · C) = (A · B) · C
2  Elemento neutro:
A · I = A
Donde Ies la matriz identidad del mismo orden que la matriz A.
3  Distributiva del producto respecto de la suma:
A · (B + C) = A · B + A · C
4  No es Conmutativa:
A · B ≠ B · A
Ejemplo



Podemos ver que en este caso, A · B ≠ B · A, de hecho ni si quiera tienen la misma dimensión, pues A · B ∈ M2x2 y B · A ∈ M3x3.

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Concepto de matriz
Se denomina matriz a todo conjunto denúmeros o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.
Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento. Un elemento se distingue de otro por la posición que ocupa, es decir, la fila y la columna a la que pertenece.
El número de filas y columnas de una matriz se denomina dimensión de una matriz.
El conjunto de matrices de m filas y n columnas se denotapor Amxn o (aij), y un elemento cualquiera de la misma, que se encuentra en la fila i y en la columna j, por aij.
Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas, son iguales.
Tipos de matrices
Matriz fila:
Es una matriz constituida por una sola fila.
Matriz columna:
Es una matriz con una sola columna.
Matriz rectangular:
Aquellamatriz que tiene distinto número de filas que de columnas, siendo sudimensión mxn.
Matriz cuadrada:
La que tiene el mismo número de filas que de columnas.
Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal.
La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j=n+1.
Matriz nula:
Todos los elementos son nulos.
Matriz triangular superior:
Los elementos situados por debajo...