Algebra

GU´ DE ESTUDIOS PARA EL EXAMEN A TITULO IA ´ DE SUFICIENCIA DE FUNDAMENTOS DE ALGEBRA.

INSTRUCCIONES El conjunto de ejercicios que a continuaci´n se presenta tienen como objetivo proporo cionarte orientaci´n sobre los temas que debes estudiar para presentar el ETS de la asignatura ”Fundamentos de o ´ Algebra”. Es importante que tengas en cuenta que los problemas que resuelvas d esta gu´ noser´n los mismos ıa a que se incluyen en el examen. ´ NUMEROS COMPLEJOS.

1. Efect´e cada una de las operaciones indicadas y exprese el resultado en forma rectangular. u (a) (c) (e) 5 − 2i 10 − i + (Resp. 6.8 − 1.6i) 3 − 4i 4 + 3i 4 i11 − i2 1 + 2i (Resp. 3 + 4i) (d) 3 (b) 1+i 1−i (f ) i − i2 − i3 + i4 (Resp. 1 − i) (1 + i)2
3

−2

1−i 1+i

2

(Resp. 2 − 3i)

3∠ 15◦ + (3∠ 20◦ )3 √ (Resp.0 − 27i) (1 + 3 i)(2eiπ/2 ) (g) (4 + 5i) − 1 2 1 3 + i + − i 4 3 5 2

(2 − 2i)(4 − 3i) (Resp. 8 − 6i) 1−i

(Resp. 71/20 + 35/6i)

2. Simplificar cada una de las siguientes expresiones. (i). i4 + i7 − i10 4 − i5 + i8 (’Resp: 0.42 − 0.12i’) (’Resp: −0.5 − 0.25i’) (’Resp: 2.83 − 2.83i’)

(ii).

(2 + i)(1 − i)(−1 + i) (−2 + 2i)2

(iii). (2 − 2i)2 √

2 i √ −√ √ 2 − 2i 2 + 2i

3. Dadoslos n´meros complejos Z1 = 4e2π/3 i , Z2 = 2∠ 60◦ , Z3 = 1 + i. Calcule las siguientes operaciones y u exprese los resultados en forma polar. (a) Z = 1 i25 (Z3 )8 (Resp. Z = ∠ 150◦ ) 5 (Z2 ) 2 (b) Z = 2Z1 + 4Z3 (Resp. Z = 1.4∠ 270◦ ) Z1 Z2

1

4. Dados los n´meros complejos, calcule las siguientes operaciones y exprese los resultados en forma rectanguu lar, polar y exponencial. Z1 = 5eiπ/4 Z2 =3 ∠ 15◦ Z3 = 2 + 4i

(a) Z = Z1 • Z2 • Z3 (Resp. 67.08 + 55.98i) (c) Z = 5. Para Z1 , Z2 , Z3 exponencial. ∈ Z1 − Z2 (Resp. 0.61 + 0.14i) Z3

(b) Z = Z1 + Z2 + Z3 (Resp. 8.42 + 8.3i) (d) Z = (Z1 )3 Z2 (Z3 )2

C, realizar las siguientes operaciones y expresarlas en forma rectangular, polar y √ √

Z1 = 2eiπ/6

Z2 =

3−

3i

Z3 = 4(cos π/4 + i sen π/4) 3 (ii). 5z1 + z2 − 2z3 (Resp:4.0 + 9.6i) 5 (iv). (z1 + z3 )3 (Resp: 49.11 − 107.97i)

(i). (z1 z3 ) + z2 (Resp: 3.8 − 9.5i) z1 2 z2 ) ( ) (Resp: −0.17 − 0.59i) z3 z3

(iii). (

6. Encuentre las ra´ indicadas de las n´ meros complejos dados, exprese los resultados en forma rectangular ıces u y grafique las ra´ ıces en el plano complejo √ (b) Las ra´ ıces cuadradas de z = 8 + 8 3 i (c) Las ra´ ıces quintas de z = −32i (d)Las ra´ ıces cuadradas de z = −7 + 24i. (Resp. w0 = 2 + i,w1 = −1 + 2i,w2 = −2 − i w3 = 1 − 2i) √ (e) Las ra´ ıces quintas de z = −16 + 16 3 i (Resp. w0 = 1.8 + 0.8i, w1 = −0.2 + 2i,w2 = −1.9 + 0.4i, w3 = −1 − 1.7i, w4 = 1.3 − 1.4i) 7. Sea z = (3 − 6i)(4 − ki), calcule el valor de k para que z sea un n´mero imaginario puro. (Resp. k = 2) u 8. Sea z = (3 − 6i)(4 − ki), calcule el valor de k para quez sea un n´mero real. (Resp. k = −8) u 9. Sea z = (5 − 2i)(4 − ki), calcule el valor de k para que z sea un n´mero imaginario puro. (Resp. k = 10) u 10. Sea z = (3∠30◦ )(3 − ki), determine el valor de k para que z sea un n´mero imaginario puro. u 11. Sea z =
3−ki 1−i ,

(a) Las ra´ ıces c´bicas de z = 8 + 8i u

calcule el valor de k de tal manera que arg(z) =

π 4

(Resp. k = 0)

12.Una ra´ c´bica de un n´mero complejo es 1 + i. Halle dicho n´mero complejo y sus otras dos ra´ c´bicas. ız u u u ıces u (Resp. z = −2 + 2i, w0 = 1 + i w1 = −1.36 + 0.36i, w2 = 0.36 − 1.36i)

2

√ 13. De un pent´gono regular centrado en el origen conocemos un v´rtice que es el punto (1, − 3). Determinar a e los retantes v´rtices. e

MATRICES Y DETERMINANTES.

(a) Sean A= −2 4 1 0 B= 2 −1 −4k

Calcular el valor de k para que AB = BA. Respuesta: k = 0 (b) Obtener el valor de X de la expresi´n matricial siguiente, dadas las matrices o  2 1 5 A = −2 1 0 4 1 1  i. Ecuaci´n: o X = A B + 2A Respuesta:  8 8 6 X = −2 1 11 18 7 18 X = (BA) − 2B Respuesta: 10 30 X =6 9 13 7 i. X = A−1 B + B −1 A ii. X = (A B)−1 Si A= Respusta: (a)X = 17/4 0 −3/2 2 (b)X = 3/4 1/2 −1/2 0 0 −1 1 2...