algebra

TEMA 3: CONTINUIDAD DE FUNCIONES

1. Valor Absoluto
Trabajaremos en el campo de los n´meros reales, R. Para el estudio de las propiedades de las
u
funciones necesitamos el concepto de valor absoluto de un n´mero real.
u
Definici´n 1.1. Sea a un n´mero real. Entonces el valor absoluto de a es el n´mero real |a| definido
o
u
u
por
a, si a ≥ 0
|a| =
.
−a, si a ≥ 0
El valor absoluto |a|se puede interpretar como la distancia del punto a al origen en la recta real.
1.1. Propiedades. Sean a, b ∈ R.
(1) |a| ≥ 0, y |a| = 0 si, y solo si a = 0.
(2) −|a| ≤ a ≤ |a|.
(3) |ab| =√
|a||b|.
(4) |a| = a2
(5) If a2 ≤ b2 , entonces |a| ≤ |b|.
(6) (Desigualdad Triangular)
|a + b| ≤ |a| + |b|.
(7) Sea p un n´mero positivo. Entonces
u
(a) |a| ≤ p si, y solo si −p ≤ a ≤ p.
(b) |a| ≥ psi, y solo si a ≥ p o a ≤ −p.
Ejemplo 1.2. Demostrar la desigualdad triangular.
´
Solucion:
|a + b|2 = (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 = |a|2 + 2ab + |b|2 ≤ |a|2 + 2|a| |b| + |b|2 = (|a| + |b|)2 ,
de donde conclu´
ımos que |a + b| ≤ |a| + |b|.
Ejemplo 1.3. Hallar el conjunto de n´meros reales que satisfacen la desigualdad 5 < |2x − 1| ≤ 9.
u
´
Solucion: De (6b) tenemos que, 5 < |2x − 1| si, ysolo si 2x − 1 > 5 o 2x − 1 < −5; por lo que,
x > 3 o x < −2, esto es, x ∈ (−∞, −2) ∪ (3, +∞). De(6a) tenemos que, |2x − 1| ≤ 9 si, y solo si
−9 ≤ 2x − 1 ≤ 9; por lo que −4 ≤ x ≤ 5, esto es, x ∈ [−4, 5]. Ambas desigualdades se verifican
simult´neamente si, y solo si x pertenece a (−∞, −2) ∪ (3, +∞) y a [−4, 5]. En consecuencia, el
a
conjunto soluci´n es [−4, −2) ∪ (3, 5].
o
2. Funciones
Unafunci´n f consiste en dos conjuntos, D y R, llamados el dominio y el rango de f , y una regla
o
que asigna a cada elemento de D exactamente un elemento de R. Esto se expresa como f : D −→ R.
La gr´fica de f es el conjunto G de pares ordenados (x, y) tal que x est´ en el dominio de la funci´n
a
a
o
e y es el correspondiente elemento en el rango. El valor de la funci´n en x ∈ D es el elementoy ∈ R
o
tal que (x, y) ∈ G y ser´ denotado por y = f (x). As´ el rango es el conjunto R = {f (x) | x ∈ D}, y
a
ı,
la gr´fica
a
G = {(x, f (x)) | x ∈ D}.
1

2

TEMA 3: CONTINUIDAD DE FUNCIONES

Para remarcar la dependencia de los conjuntos anteriores con la funci´n f , a menudo escribiremos
o
D(f ), R(f ) y G(f ).
Estaremos especialmente interesados en las funciones reales de unavariable real con D, R ⊂ R y
en las de dos variables, con D ⊂ R × R, R ⊂ R. Nos concentraremos primero en las funciones de
una variable.
Ejemplo 2.1.
(1) Sea f (x) = x2 . El dominio es D = R y el rango es R = [0, +∞). La gr´fica es una par´bola
a
a
que pasa por el punto (0, 0) y que abre hacia arriba.
100

50

0
−10

−5

0

5

10

√
(2) Sea g(x) = x. El dominio es D(g) = [0,+∞) y el rango es R(g) = [0, +∞). La gr´fica se
a
muestra en la siguiente figura.

3

2

1

0
0

2

4

6

8

10

(3) Sea h(x) = 1/x. El dominio es D(h) = R − {0} y el rango es R(h) = R − {0}. La gr´fica se
a
muestra en la siguiente figura.
6
4

y

2
0
−2
−4
−6
−6

−4

−2

0
x

2

4

6

TEMA 3: CONTINUIDAD DE FUNCIONES

3

(4) Sea l(x) = ln x. Eldominio es D(l) = (0, +∞) y el rango es R(l) = R. La gr´fica se muestra
a
en la siguiente figura.
2
1
0
−1
−2

0

1

2

3

4

(5) Sea m(x) = |x|. El dominio es D(m) = R y el rango es R(m) = [0, +∞). La gr´fica se
a
muestra en la siguiente figura.
4

3

2

1

0
−4

−2

0

2

4

(6) Sea n(x) = −2 x(1 − x). El dominio es D(n) = [0, 1] y el rango es R(n) = [−1,0]. La
gr´fica se muestra en la siguiente figura.
a
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

El dominio de una funci´n se desprende de la definici´n de la funci´n. El rango, en cambio, no
o
o
o
est´ siempre determinado. La gr´fica de la funci´n siempre ayuda a visualizar el rango.
a
a
o
Una funci´n puede venir definida a trozos. Como ejemplo, la gr´fica de la...