algebra

Tema 3 – Álgebra – Matemáticas I – 1º Bachillerato

1

TEMA 3 – ÁLGEBRA
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
EJERCICIO 1 : Factoriza los siguientes polinomios:
4
2
4
3
2
a) 2x − 18x
b) x − x − x − x − 2
3
2
5
4
3
e) x + x − 2x
d) 2x − 9x − 8x + 15

c) x − 13x + 36x
3
e) x − 3x + 2
3

2

Solución:
2
2
a) Sacamos factor común y tenemos en cuenta que a − b = (a + b) (a − b):4
2
2
2
2
2x − 18x = 2x (x − 9) = 2x (x + 3) (x − 3)
b) Utilizamos la regla de Ruffini:
1 −1 −1 −1 −2

−1
1

−1

2

−1

2

−2

1

−2

0

2

0

2

0

1

0

2
1

x − x − x − x − 2 = (x + 1) (x − 2) (x + 1) (El polinomio x + 1 no tiene raíces reales).
c) Sacamos factor común y hallamos las otras raíces resolviendo la ecuación de segundo grado:
x 3 − 13 x 2+ 36 x = x x 2 − 13 x + 36
4

3

2

2

(

x − 13 x + 36 = 0
2

2

)

13 ± 169 − 144 13 ± 25 13 ± 5 ƒ
x=
=
=
2
2
2
‚

→

x =9
x=4

Por tanto: x − 13x + 36 x = x (x − 9) (x − 4)
d) Utilizamos la regla de Ruffini:
2 −9 −8 15
3

1

−7 −15

2
2

5

2

−7 −15
10

0

15

2 x 2 − 7 x − 15 = 0 ⇒ x =

7 ± 49 + 120 7 ± 169 7 ± 13 x = 5
=
=
x = −6 /4 = −3 / 2
4
4
4

2x − 9x − 8x + 15 = 2(x − 1) (x − 5) (x + 3/2)
e) Sacamos factor común y hallamos las otras raíces resolviendo la ecuación:
5
4
3
3
2
x + x − 2x = x (x + x − 2)
x =1
−1 ± 1 + 8 −1 ± 9 −1 ± 3 ƒ
2
x +x −2 = 0 → x =
=
=
‚
2
2
2
x = −2
3

2

Por tanto: x + x − 2x = x (x − 1) (x + 2)
f) Utilizamos la regla de Ruffini:
1
0 −3
2
5

1
1
1

4

31

1

−2

1

−2

0

1

2

3

x2 + x − 2 = 0 ⇒ x =

−1± 1+ 8 −1± 9 −1± 3 x = 1
=
=
x = −2
2
2
2

x − 3x + 2 = (x − 1) (x + 2)
3

2

APLICACIONES DEL TEOREMA DEL RESTO

(

)

EJERCICIO 2 : Halla el valor de k para que la siguiente división sea exacta: 3 x 2 + kx − 2 : ( x + 2 )
Solución: Llamamos P(x) = 3x + kx − 2.
Para que la división sea exacta, ha deser P(−2) = 0; es decir: P(−2) = 12 − 2k − 2 = 10 − 2k = 0 → k = 5
2

Tema 3 – Álgebra – Matemáticas I – 1º Bachillerato

2

FRACCIONES ALGEBRAICAS
EJERCICIO 3 : Simplifica las siguientes expresiones algebraicas:
a)

x 5 + 6x 4 + 9x 3
x 3 + 3x 2

x3 − x
x 3 − x 2 − 2x
x 3 − 3x 2 + 3x − 1
x 4 − 2x 3 − 3x 2
c)
d)
e)
2
3
2
x + 3x + 2x
x − 2x + x
x 4 − 9x 2
x 3 − 3x 2 + 2xb)

3

Solución:
a)

(

)

x 3 x 2 + 6x + 9
x 5 + 6x 4 + 9x 3
x 3 (x + 3 )
=
=
= x (x + 3 ) = x 2 + 3 x
x 3 + 3x 2
x 2 (x + 3 )
x 2 (x + 3 )

(

)

2

b)

x (x − 1)(x + 1)
x x2 −1
x3 − x
x −1
=
=
=
3
2
2
x (x + 1)(x + 2) x + 2
x + 3x + 2x x x + 3x + 2

c)

x −x
x 3 − 3x 2

d)

(x − 1) = x − 1
x 3 − 3x 2 + 3x − 1
=
3
2
2
x
x − 2x + x
x (x −1)

3

2

(
x (x
− 2x
=
+ 2 x x (x

2

2

−x−2

)

) = x (x − 2)(x + 1) = x + 1
) x (x − 2)(x − 1) x − 1

− 3x + 2
3

e)

(

)

x 2 (x − 3 )(x + 1)
x 2 x 2 − 2x − 3
x 4 − 2x 3 − 3x 2
x +1
=
=
=
4
2
2
2
2
x − 9x
x x −9
x (x − 3 )(x + 3 ) x + 3

(

)

EJERCICIO 4 : Efectúa las siguientes operaciones y simplifica:

2x − 1
3x  
x3 − x
2x
3x− 1
1

a) 
−
b)
+
− 2
 ⋅ 
2

x −2 x +2 x −4
 x + 1 x − 1  − x − 6x + 1
c)

(x − 1)2

⋅

2

1
3x
−
x − 1 ( x + 1)2

d)

2

1

(x − 1)

2

+

2x   x 2 + x 
3

e)  −
⋅
 x x + 1   x − 1 

2
1
+
x −1 x2 −1

Solución:
3
x3 − x
 2x − 1 3x   x − x  (2x − 1)(x − 1) − 3x (x + 1)
a) 
−
=
⋅
=
⋅
(x + 1)(x − 1)
 x + 1 x− 1   − x 2 − 6x + 1 
−x 2 − 6x + 1

2x 2 − 2x − x + 1 − 3x 2 − 3x x (x − 1)(x + 1) −x 2 − 6x + 1 x (x − 1)(x + 1)
⋅
=
⋅
=x
(x + 1)(x − 1)
−x 2 − 6 x + 1 (x + 1)(x − 1) −x 2 − 6 x + 1
b)
c)

d)

2x
3x − 1
1
2x (x + 2) (3x − 1)(x − 2)
1
2x 2 + 4x − 3x 2 + 6 x + x − 2 − 1 −x 2 + 11x − 3
+
−
=
−
−
=
=
x − 2 x + 2 x2 −4
x2 − 4
x2 −4
x2 −4
x2 −4
x2 −4

(x −...